Номер 20.20, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.20. Найдите множество решений совокупности систем неравенств:

1)

$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 \leq 9, \\ x^2 - 5x + 6 < 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 4 \geq 0, \\ 2,5x - x^2 > 0. \end{array} \right. \end{array} \right.$

2)

$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x| \leq 5, \\ |x| > 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 16 \geq 0, \\ x^2 - 8x < 0. \end{array} \right. \end{array} \right.$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти объединение решений двух систем неравенств. Сначала решим каждую систему отдельно.

Первая система:

$\begin{cases} x^2 \le 9, \\ x^2 - 5x + 6 < 0;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \le 9$. Это равносильно $x^2 - 9 \le 0$, или $(x-3)(x+3) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 6 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать в виде $(x-2)(x-3) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 3)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 3] \cap (2, 3) = (2, 3)$.

Вторая система:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ 2,5x - x^2 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$. Это равносильно $(x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $2,5x - x^2 > 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(2,5 - x) > 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x(x - 2,5) < 0$. Решением является интервал $x \in (0, 2.5)$.

Решение системы — это пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (0, 2.5) = [2, 2.5)$.

Объединение решений:

Теперь найдем множество решений совокупности систем, которое является объединением решений первой и второй систем:

$x \in (2, 3) \cup [2, 2.5)$.

Объединяя эти два промежутка, получаем $x \in [2, 3)$.

Графическая иллюстрация объединения множеств:

Ответ: $x \in [2, 3)$.

2)

Аналогично первому пункту, решим каждую систему неравенств и найдем объединение их решений.

Первая система:

$\begin{cases} |x| \le 5, \\ |x| > 3;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x| \le 5$. Это равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство: $|x| > 3$. Это равносильно совокупности $x < -3$ или $x > 3$, то есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Решение системы — это пересечение этих множеств: $[-5, 5] \cap ((-\infty, -3) \cup (3, \infty)) = [-5, -3) \cup (3, 5]$.

Вторая система:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 8x < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$. Это равносильно $(x-4)(x+4) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 8x < 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-8) < 0$. Решением является интервал $x \in (0, 8)$.

Решение системы — это пересечение: $((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (0, 8) = [4, 8)$.

Объединение решений:

Найдем объединение решений первой и второй систем:

$x \in ([-5, -3) \cup (3, 5]) \cup [4, 8)$.

Объединяя промежутки $(3, 5]$ и $[4, 8)$, получаем $(3, 8)$.

Итоговое решение: $x \in [-5, -3) \cup (3, 8)$.

Графическая иллюстрация объединения множеств:

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (3, 8)$.