Страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.17. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases}(x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2 \\ 2x^2 - 7x - 9 \le 0;\end{cases}$

2) $\begin{cases}(3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2 \\ x^2 + 7x - 8 \le 0;\end{cases}$

3) $\begin{cases}(2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4 \\ 2x^2 - 7x - 5 \le 4;\end{cases}$

4) $\begin{cases}5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2 \\ 3x^2 - 5x + 8 > 0.\end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2, \\ 2x^2 - 7x - 9 \le 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2$

$x^2 + 6x + 9 + 4x - 8 \le 4x^2 - 4x + 1$

$x^2 + 10x + 1 \le 4x^2 - 4x + 1$

$0 \le 3x^2 - 14x$

$x(3x - 14) \ge 0$

Корни уравнения $x(3x - 14) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 14/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [14/3, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - 7x - 9 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{7 - 11}{4} = -1$

$x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-1, 9/2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, 0] \cup [14/3, +\infty)$ и $[-1, 9/2]$.

Учитывая, что $14/3 \approx 4.67$, а $9/2 = 4.5$, пересечением является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: $x \in [-1, 0]$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2, \\ x^2 + 7x - 8 \le 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2$

$9x^2 + 24x + 16 + 4x - 12 \le 4x^2 - 8x + 4$

$9x^2 + 28x + 4 \le 4x^2 - 8x + 4$

$5x^2 + 36x \le 0$

$x(5x + 36) \le 0$

Корни уравнения $x(5x + 36) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -36/5 = -7.2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-36/5, 0]$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 7x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.

$(x+8)(x-1) \le 0$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-8, 1]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[-36/5, 0]$ и $[-8, 1]$.

Пересечением является отрезок $[-36/5, 0]$.

Ответ: $x \in [-36/5, 0]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4, \\ 2x^2 - 7x - 5 \le 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4$

Вычтем $(2x-3)^2$ из обеих частей:

$-2(x-2) \le 4$

$-2x + 4 \le 4$

$-2x \le 0$

$x \ge 0$

Решение: $x \in [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - 7x - 5 \le 4$

$2x^2 - 7x - 9 \le 0$

Это неравенство уже было решено в задаче 1). Его решение: $x \in [-1, 9/2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[0, +\infty)$ и $[-1, 9/2]$.

Пересечением является отрезок $[0, 9/2]$.

Ответ: $x \in [0, 9/2]$.

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2, \\ 3x^2 - 5x + 8 > 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2$

$5x - 15 - 4(x^2 - 4x + 4) \le 3 - (4x^2 - 4x + 1)$

$5x - 15 - 4x^2 + 16x - 16 \le 3 - 4x^2 + 4x - 1$

$-4x^2 + 21x - 31 \le -4x^2 + 4x + 2$

Прибавим $4x^2$ к обеим частям:

$21x - 31 \le 4x + 2$

$17x \le 33$

$x \le 33/17$

Решение: $x \in (-\infty, 33/17]$.

Решим второе неравенство:

$3x^2 - 5x + 8 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 8$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 - 96 = -71$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, парабола $y = 3x^2 - 5x + 8$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $3x^2 - 5x + 8 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, 33/17]$ и $(-\infty, +\infty)$.

Пересечением является множество $(-\infty, 33/17]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 33/17]$.

20.18. Найдите область определения функции и укажите наибольшее целое значение переменной x:

1) $y = \frac{\sqrt{-2x^2 + 5x - 3}}{\sqrt{9-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x-1}}$;

2) $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 8x + 11}}{\sqrt{25-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+12}}$

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{-2x^2 + 5x - 3}}{\sqrt{9-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x-1}}$ необходимо, чтобы все выражения под корнем были определены и знаменатели не были равны нулю. Это приводит к следующей системе неравенств:

$\begin{cases} -2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \\ 9-x^2 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим неравенство $-2x^2 + 5x - 3 \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $2x^2 - 5x + 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$; $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$.

Парабола $y = 2x^2 - 5x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 5x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le x \le 1,5$.

2. Решим неравенство $9 - x^2 > 0$.

Перенесем $x^2$: $9 > x^2$, или $x^2 < 9$. Это неравенство выполняется для $x$, лежащих в интервале $(-3; 3)$.

3. Решим неравенство $2x - 1 > 0$.

Перенесем 1: $2x > 1$, откуда $x > 0,5$.

Теперь необходимо найти пересечение всех трех решений:

$\begin{cases} x \in [1; 1,5] \\ x \in (-3; 3) \\ x \in (0,5; +\infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен одновременно удовлетворять всем трем. Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 1,5]$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [1; 1,5]$.

Наибольшее целое значение переменной $x$, принадлежащее этой области, — это $1$.

Ответ: область определения $D(y) = [1; 1,5]$; наибольшее целое значение $x$ равно 1.

2) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 8x + 11}}{\sqrt{25-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+12}}$ составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} -3x^2 + 8x + 11 \ge 0 \\ 25-4x^2 > 0 \\ 2x+12 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим неравенство $-3x^2 + 8x + 11 \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $3x^2 - 8x - 11 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 11 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-11) = 64 + 132 = 196$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 14}{6} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{8 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 8x - 11$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 8x - 11 \le 0$ выполняется при $x \in [-1; \frac{11}{3}]$.

2. Решим неравенство $25 - 4x^2 > 0$.

$25 > 4x^2$, или $x^2 < \frac{25}{4}$. Решением является интервал $-\frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$, то есть $x \in (-2,5; 2,5)$.

3. Решим неравенство $2x + 12 > 0$.

$2x > -12$, откуда $x > -6$.

Найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \in [-1; \frac{11}{3}] \\ x \in (-2,5; 2,5) \\ x \in (-6; +\infty) \end{cases}$

Учитывая, что $\frac{11}{3} \approx 3,67$, пересечением этих трех множеств является промежуток $[-1; 2,5)$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1; 2,5)$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: область определения $D(y) = [-1; 2,5)$; наибольшее целое значение $x$ равно 2.

20.19. Решите систему неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

1) ${ \begin{cases} x^2 - 4x + 2 \ge -1, \\ x^2 - |x| \le 0; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} x^2 - 2x - 5 \ge 10, \\ x^2 + |x| - 6 > 0; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} -x^2 - 4x + 2 < -6, \\ x^2 - 2|x| - 24 \le 0; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 3x^2 - 4x \ge -1, \\ x^2 - |x| - 6 \le 0. \end{cases} }$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4x + 2 \ge -1 \\ x^2 - |x| \le 0 \end{cases} $.

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 2 \ge -1$.

Перенесем -1 в левую часть: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - |x| \le 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать неравенство как $|x|^2 - |x| \le 0$.

Введем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Неравенство принимает вид $t^2 - t \le 0$, или $t(t-1) \le 0$.

Решением этого неравенства для переменной $t$ является отрезок $[0, 1]$.

Вернемся к переменной $x$: $0 \le |x| \le 1$. Это неравенство равносильно $-1 \le x \le 1$.

Решением второго неравенства является множество $x \in [-1, 1]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) ) \cap [-1, 1]$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x - 5 \ge 10 \\ x^2 + |x| - 6 > 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 5 \ge 10$.

Перенесем 10 в левую часть: $x^2 - 2x - 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + |x| - 6 > 0$.

Используя замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 + t - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 + t - 6$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства: $t < -3$ или $t > 2$.

Так как $t = |x| \ge 0$, условие $t < -3$ не имеет решений. Остается $t > 2$.

Возвращаясь к $x$, получаем $|x| > 2$, что равносильно $x < -2$ или $x > 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) ) \cap ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )$.

Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -3]$ и $[5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} -x^2 - 4x + 2 < -6 \\ x^2 - 2|x| - 24 \le 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $-x^2 - 4x + 2 < -6$.

$-x^2 - 4x + 8 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 4x - 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 8$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 2|x| - 24 \le 0$.

Сделаем замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 - 2t - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 24$ ветвями вверх, поэтому решение: $-4 \le t \le 6$.

С учетом $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 6$.

Возвращаясь к $x$, имеем $0 \le |x| \le 6$, что эквивалентно $-6 \le x \le 6$.

Решение второго неравенства: $x \in [-6, 6]$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty) ) \cap [-6, 6]$.

Это пересечение дает нам два интервала: $[-6, -2 - 2\sqrt{3})$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 6]$.

Ответ: $[-6, -2-2\sqrt{3}) \cup (-2+2\sqrt{3}, 6]$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3x^2 - 4x \ge -1 \\ x^2 - |x| - 6 \le 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $3x^2 - 4x \ge -1$.

$3x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 - 4x + 1$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - |x| - 6 \le 0$.

Сделаем замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 - t - 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому решение: $-2 \le t \le 3$.

С учетом $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 3$.

Возвращаясь к $x$, имеем $0 \le |x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$.

Решение второго неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, 1/3] \cup [1, +\infty) ) \cap [-3, 3]$.

Пересечение дает объединение отрезков: $[-3, 1/3] \cup [1, 3]$.

Ответ: $[-3, 1/3] \cup [1, 3]$.

20.20. Найдите множество решений совокупности систем неравенств:

1)

$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 \leq 9, \\ x^2 - 5x + 6 < 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 4 \geq 0, \\ 2,5x - x^2 > 0. \end{array} \right. \end{array} \right.$

2)

$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x| \leq 5, \\ |x| > 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 16 \geq 0, \\ x^2 - 8x < 0. \end{array} \right. \end{array} \right.$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти объединение решений двух систем неравенств. Сначала решим каждую систему отдельно.

Первая система:

$\begin{cases} x^2 \le 9, \\ x^2 - 5x + 6 < 0;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \le 9$. Это равносильно $x^2 - 9 \le 0$, или $(x-3)(x+3) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 6 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать в виде $(x-2)(x-3) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 3)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 3] \cap (2, 3) = (2, 3)$.

Вторая система:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ 2,5x - x^2 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$. Это равносильно $(x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $2,5x - x^2 > 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(2,5 - x) > 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x(x - 2,5) < 0$. Решением является интервал $x \in (0, 2.5)$.

Решение системы — это пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (0, 2.5) = [2, 2.5)$.

Объединение решений:

Теперь найдем множество решений совокупности систем, которое является объединением решений первой и второй систем:

$x \in (2, 3) \cup [2, 2.5)$.

Объединяя эти два промежутка, получаем $x \in [2, 3)$.

Графическая иллюстрация объединения множеств:

Ответ: $x \in [2, 3)$.

2)

Аналогично первому пункту, решим каждую систему неравенств и найдем объединение их решений.

Первая система:

$\begin{cases} |x| \le 5, \\ |x| > 3;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $|x| \le 5$. Это равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$, то есть $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство: $|x| > 3$. Это равносильно совокупности $x < -3$ или $x > 3$, то есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Решение системы — это пересечение этих множеств: $[-5, 5] \cap ((-\infty, -3) \cup (3, \infty)) = [-5, -3) \cup (3, 5]$.

Вторая система:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 8x < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$. Это равносильно $(x-4)(x+4) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 8x < 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-8) < 0$. Решением является интервал $x \in (0, 8)$.

Решение системы — это пересечение: $((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (0, 8) = [4, 8)$.

Объединение решений:

Найдем объединение решений первой и второй систем:

$x \in ([-5, -3) \cup (3, 5]) \cup [4, 8)$.

Объединяя промежутки $(3, 5]$ и $[4, 8)$, получаем $(3, 8)$.

Итоговое решение: $x \in [-5, -3) \cup (3, 8)$.

Графическая иллюстрация объединения множеств:

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (3, 8)$.