Страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения реки, затратив на путь по течению на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость движения лодки против течения реки.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость течения реки.

Собственная скорость лодки известна и равна 12 км/ч. Тогда:

• Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\_течению} = (12 + x)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против\_течения} = (12 - x)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в 7 км по течению, составляет: $t_1 = \frac{7}{12 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в 10 км против течения, составляет: $t_2 = \frac{10}{12 - x}$ часов.

По условию, на путь по течению было затрачено на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 0,5$

$\frac{10}{12 - x} - \frac{7}{12 + x} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - x)(12 + x) = 144 - x^2$:

$\frac{10(12 + x) - 7(12 - x)}{(12 - x)(12 + x)} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120 + 10x - 84 + 7x}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{36 + 17x}{144 - x^2} = 0,5$

Представим 0,5 как $\frac{1}{2}$ и воспользуемся свойством пропорции:

$2(36 + 17x) = 1(144 - x^2)$

$72 + 34x = 144 - x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 34x + 72 - 144 = 0$

$x^2 + 34x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-34 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-34 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость течения реки ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -36$ не является решением задачи. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

В задаче требуется найти скорость движения лодки против течения реки. Вычислим ее:

$v_{против\_течения} = 12 - x = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Решите уравнения (37–41):

37. 1) $5\sqrt{x} = 15;$

2) $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1;$

3) $\frac{2}{\sqrt{3x}} = 1;$

4) $3 + \sqrt{3x} = 18;$

5) $\sqrt{x - 4} = 6.$

1) $5\sqrt{x} = 15$
Для решения уравнения сначала изолируем радикал. Разделим обе части уравнения на 5:
$\sqrt{x} = \frac{15}{5}$
$\sqrt{x} = 3$
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$
Подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), что выполняется для $x=9$.
Проверка: $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$. Равенство верно.
Ответ: $x=9$

2) $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($2\sqrt{x} \neq 0$), что означает $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $2\sqrt{x}$:
$1 = 2\sqrt{x}$
Разделим обе части на 2:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Полученное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Проверка: $\frac{1}{2\sqrt{1/4}} = \frac{1}{2 \cdot 1/2} = \frac{1}{1} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $x=\frac{1}{4}$

3) $\frac{2}{\sqrt{3x}} = 1$
ОДЗ: подкоренное выражение и знаменатель не могут быть равны нулю, поэтому $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x}$:
$2 = \sqrt{3x}$
Возведем обе части в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{3x})^2$
$4 = 3x$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{4}{3}$
Значение $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Проверка: $\frac{2}{\sqrt{3 \cdot (4/3)}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$. Равенство верно.
Ответ: $x=\frac{4}{3}$

4) $3 + \sqrt{3x} = 18$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Сначала изолируем радикал. Перенесем 3 из левой части в правую с противоположным знаком:
$\sqrt{3x} = 18 - 3$
$\sqrt{3x} = 15$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x})^2 = 15^2$
$3x = 225$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{225}{3}$
$x = 75$
Значение $x = 75$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Проверка: $3 + \sqrt{3 \cdot 75} = 3 + \sqrt{225} = 3 + 15 = 18$. Равенство верно.
Ответ: $x=75$

5) $\sqrt{x - 4} = 6$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$.
Радикал уже изолирован в левой части. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-4})^2 = 6^2$
$x - 4 = 36$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$x = 36 + 4$
$x = 40$
Значение $x = 40$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 4$).
Проверка: $\sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.
Ответ: $x=40$

38.

1) $3\sqrt{x} = 12x;$

2) $\frac{x}{2\sqrt{x}} = 1;$

3) $\frac{4x}{\sqrt{3x}} = 3;$

4) $x + \sqrt{x} = 12;$

5) $x + \sqrt{x - 4} = 6.$

1) Исходное уравнение: $3\sqrt{x} = 12x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Перенесем все члены в одну сторону: $12x - 3\sqrt{x} = 0$.
Один из корней очевиден: $x=0$. Подставим его в уравнение: $3\sqrt{0} = 12 \cdot 0$, что дает верное равенство $0=0$. Значит, $x_1=0$ является корнем.
Для поиска других корней предположим, что $x > 0$. Вынесем общий множитель $3\sqrt{x}$ за скобки:
$3\sqrt{x}(4\sqrt{x} - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $3\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0$. Этот корень мы уже нашли.
б) $4\sqrt{x} - 1 = 0 \implies 4\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{4}$.
Возведем обе части в квадрат: $x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{16}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x}{2\sqrt{x}} = 1$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. $x \ge 0$ и $2\sqrt{x} \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем $x > 0$.
При $x > 0$ мы можем представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$.
Уравнение принимает вид: $\frac{(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = 1$.
Сокращаем дробь на $\sqrt{x}$ (это возможно, так как $x > 0$, следовательно $\sqrt{x} \neq 0$):
$\frac{\sqrt{x}}{2} = 1$.
Умножим обе части на 2: $\sqrt{x} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 4$.
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>0$).
Ответ: $x=4$.

3) Исходное уравнение: $\frac{4x}{\sqrt{3x}} = 3$.
ОДЗ: $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x}$ (что допустимо, так как $\sqrt{3x} \neq 0$ в ОДЗ):
$4x = 3\sqrt{3x}$.
Так как $x>0$, левая часть ($4x$) положительна, правая часть ($3\sqrt{3x}$) также положительна. Мы можем возвести обе части в квадрат:
$(4x)^2 = (3\sqrt{3x})^2$
$16x^2 = 9 \cdot 3x$
$16x^2 = 27x$
Перенесем все в левую часть: $16x^2 - 27x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(16x - 27) = 0$.
Получаем два возможных корня: $x=0$ или $16x-27=0$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому он является посторонним.
Решаем второе уравнение: $16x = 27 \implies x = \frac{27}{16}$.
Корень $x=\frac{27}{16}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=\frac{27}{16}$.

4) Исходное уравнение: $x + \sqrt{x} = 12$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Это иррациональное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x}$ по определению неотрицателен, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим замену в исходное уравнение:
$t^2 + t = 12$
$t^2 + t - 12 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна -1. Это числа -4 и 3.
$t_1 = -4$, $t_2 = 3$.
Возвращаемся к замене. У нас есть условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он посторонний.
Остается один корень: $t_2 = 3$.
Выполняем обратную замену: $\sqrt{x} = 3$.
Возводим в квадрат: $x = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).
Проверка: $9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$. Верно.
Ответ: $x=9$.

5) Исходное уравнение: $x + \sqrt{x-4} = 6$.
ОДЗ: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Уединим радикал в одной части уравнения:
$\sqrt{x-4} = 6 - x$.
Левая часть уравнения ($\sqrt{x-4}$) по определению арифметического корня неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
Объединяя это условие с ОДЗ, получаем, что корень (если он существует) должен находиться в промежутке $4 \le x \le 6$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x-4} = 6 - x$ в квадрат:
$(\sqrt{x-4})^2 = (6-x)^2$
$x - 4 = 36 - 12x + x^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 12x - x + 36 + 4 = 0$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых 40, а сумма 13. Это числа 5 и 8.
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $4 \le x \le 6$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию ($4 \le 5 \le 6$).
$x_2 = 8$ не удовлетворяет этому условию, так как $8 > 6$. Значит, $x=8$ - посторонний корень.
Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$5 + \sqrt{5-4} = 5 + \sqrt{1} = 5 + 1 = 6$. Верно.
Ответ: $x=5$.

39.

1) $x^2 - 3x - 12 = 6;$

2) $x^2 - 9x - 4 = 1;$

3) $x^2 + 8x = 16 - 2x;$

4) $x^2 + x - 3 = 1 - 5x.$

1) $x^2 - 3x - 12 = 6$
Для решения уравнения необходимо привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 12 - 6 = 0$
$x^2 - 3x - 18 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=-18$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: -3; 6.

2) $x^2 - 9x - 4 = 1$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 9x - 4 - 1 = 0$
$x^2 - 9x - 5 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-9$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 81 + 20 = 101$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{101}}{2}$
Ответ: $\frac{9 - \sqrt{101}}{2}$; $\frac{9 + \sqrt{101}}{2}$.

3) $x^2 + 8x = 16 - 2x$
Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 + 8x - 16 + 2x = 0$
$x^2 + 10x - 16 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=10$, $c=-16$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 100 + 64 = 164$
Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-5 \pm \sqrt{41})}{2} = -5 \pm \sqrt{41}$
Ответ: $-5 - \sqrt{41}$; $-5 + \sqrt{41}$.

4) $x^2 + x - 3 = 1 - 5x$
Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 + x - 3 - 1 + 5x = 0$
$x^2 + 6x - 4 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52$
Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{13})}{2} = -3 \pm \sqrt{13}$
Ответ: $-3 - \sqrt{13}$; $-3 + \sqrt{13}$.

40.

1) $-x^2 + 13x - 12 = 6x$;

2) $9x - x^2 = -4 + 2x$;

3) $-x^2 + 5x = 18 - 2x$;

4) $x - 2x^2 - 4 = -1 - 5x$.

1) Чтобы решить уравнение $-x^2 + 13x - 12 = 6x$, сначала приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону.
$-x^2 + 13x - 12 - 6x = 0$
$-x^2 + 7x - 12 = 0$
Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Теперь решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: $3; 4$.

2) Рассмотрим уравнение $9x - x^2 = -4 + 2x$. Приведем его к стандартному виду, перенеся все слагаемые в одну сторону.
$9x - x^2 + 4 - 2x = 0$
$-x^2 + 7x + 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$x^2 - 7x - 4 = 0$
Найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 49 + 16 = 65$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2}$
Ответ: $\frac{7 - \sqrt{65}}{2}; \frac{7 + \sqrt{65}}{2}$.

3) Решим уравнение $-x^2 + 5x = 18 - 2x$. Перенесем все слагаемые в левую часть.
$-x^2 + 5x - 18 + 2x = 0$
$-x^2 + 7x - 18 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 - 7x + 18 = 0$
Найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 49 - 72 = -23$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

4) Решим уравнение $x - 2x^2 - 4 = -1 - 5x$. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные.
$x - 2x^2 - 4 + 1 + 5x = 0$
$-2x^2 + 6x - 3 = 0$
Умножим обе части на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.
$2x^2 - 6x + 3 = 0$
Найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$x_{1,2} = \frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}; \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

41.

1) $$\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$$

2) $$\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$$

1) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$

Сначала преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$
$25 - x^2 = -(x^2 - 25) = -(x - 5)(x + 5)$
Подставим преобразованные знаменатели в исходное уравнение:
$\frac{1}{(x - 5)^2} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$
$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$
Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 5)^2(x + 5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$1 \cdot (x + 5) - 10 \cdot (x - 5) = 1 \cdot (x - 5)^2$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$x + 5 - 10x + 50 = x^2 - 10x + 25$
$-9x + 55 = x^2 - 10x + 25$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 9x + 25 - 55 = 0$
$x^2 - x - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -30$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$, $x \neq -5$).
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x+5)$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: 6.

2) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

Преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$
$36 - x^2 = -(x^2 - 36) = -(x - 6)(x + 6)$
Подставим преобразованные знаменатели в уравнение:
$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{-(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$
$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
Общий знаменатель: $(x + 6)^2(x - 6)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2 \cdot (x - 6) + 12 \cdot (x + 6) = 1 \cdot (x + 6)^2$
Раскроем скобки и упростим:
$2x - 12 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36$
$14x + 60 = x^2 + 12x + 36$
Перенесем все члены в правую часть:
$x^2 + 12x - 14x + 36 - 60 = 0$
$x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -24$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -6$, $x \neq 6$).
Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x-6)$ обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: -4.

42. Приведите пример уравнения вида $x^2 - a = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

Общий вид уравнения — $x^2 - a = 0$. Чтобы найти его корни, преобразуем уравнение к виду $x^2 = a$. Решениями (корнями) этого уравнения являются значения $x = \pm\sqrt{a}$. Характер корней (целые, рациональные, иррациональные или их отсутствие в множестве действительных чисел) зависит от значения параметра $a$.

1) имеет два целых корня
Чтобы корни уравнения $x = \pm\sqrt{a}$ были целыми, значение $a$ должно быть квадратом ненулевого целого числа (точным квадратом). Возьмем, к примеру, $a = 36$. Число 36 является квадратом целого числа 6 ($36 = 6^2$). Тогда уравнение примет вид: $x^2 - 36 = 0$. Его корни: $x^2 = 36$, откуда $x = \pm\sqrt{36}$. Получаем два целых корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Ответ: $x^2 - 36 = 0$.

2) имеет два рациональных корня
Чтобы корни $x = \pm\sqrt{a}$ были рациональными, $a$ должно быть квадратом рационального числа. Заметим, что любой пример из пункта 1 также удовлетворяет этому условию, так как целые числа являются подмножеством рациональных. Чтобы показать более общий случай, выберем для $a$ квадрат дробного числа. Пусть $a = (1/5)^2 = 1/25$. Уравнение примет вид: $x^2 - 1/25 = 0$. Его корни: $x^2 = 1/25$, откуда $x = \pm\sqrt{1/25}$. Получаем два рациональных корня: $x_1 = 1/5$ и $x_2 = -1/5$.
Ответ: $x^2 - 1/25 = 0$.

3) имеет два иррациональных корня
Чтобы корни $x = \pm\sqrt{a}$ были иррациональными, число $a$ должно быть положительным, но не являться квадратом какого-либо рационального числа. Выберем в качестве $a$ простое положительное число, например, $a = 7$. Уравнение примет вид: $x^2 - 7 = 0$. Его корни: $x^2 = 7$, откуда $x = \pm\sqrt{7}$. Числа $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$ являются иррациональными.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

4) не имеет действительных корней
Уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней в том случае, если $a < 0$. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выберем любое отрицательное значение для $a$, например, $a = -4$. Подставим в исходное уравнение: $x^2 - (-4) = 0$, что равносильно $x^2 + 4 = 0$. Отсюда $x^2 = -4$. В множестве действительных чисел нет числа, квадрат которого равен -4. Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

43. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 2|x| - 15 = 0;$

2) $x^2 - 12|x| + 2 = 0;$

3) $4|x| - x^2 - 2x + 8 = 0;$

4) $x^2 - 2|x - 1| - 15 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2|x| - 15 = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение в виде:
$|x|^2 - 2|x| - 15 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
Получаем уравнение:
$t^2 - 2t - 15 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.
Проверим условие $t \ge 0$:
$t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому этот корень является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = 5$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $x = \pm 5$.

2) Дано уравнение $x^2 - 12|x| + 2 = 0$.
Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:
$|x|^2 - 12|x| + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 12t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 144 - 8 = 136$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{4 \cdot 34}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 6 \pm \sqrt{34}$.
Получаем два корня для $t$:
$t_1 = 6 + \sqrt{34}$ и $t_2 = 6 - \sqrt{34}$.
Оба корня положительны, так как $\sqrt{34}$ находится между $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{36}=6$, поэтому $6 - \sqrt{34} > 0$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $|x| = 6 + \sqrt{34}$, откуда $x = \pm(6 + \sqrt{34})$.
2. $|x| = 6 - \sqrt{34}$, откуда $x = \pm(6 - \sqrt{34})$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = \pm(6 + \sqrt{34})$, $x = \pm(6 - \sqrt{34})$.

3) Дано уравнение $4|x| - x^2 - 2x + 8 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет, поэтому он является посторонним для данного случая.
Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(-x) - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-4x - x^2 - 2x + 8 = 0$
$-x^2 - 6x + 8 = 0$
$x^2 + 6x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.
Получаем два корня: $x_3 = -3 + \sqrt{17}$ и $x_4 = -3 - \sqrt{17}$.
Проверяем условие $x < 0$.
Так как $\sqrt{17} > \sqrt{9} = 3$, то $x_3 = -3 + \sqrt{17} > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию.
Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17}$ очевидно отрицательный, поэтому он удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня исходного уравнения.
Ответ: $x = 4$, $x = -3 - \sqrt{17}$.

4) Дано уравнение $x^2 - 2|x-1| - 15 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-1$.
Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x-1) - 15 = 0$
$x^2 - 2x + 2 - 15 = 0$
$x^2 - 2x - 13 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$.
Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$.
Проверяем условие $x \ge 1$.
Корень $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ удовлетворяет условию, так как $\sqrt{14} > 0$.
Корень $x_2 = 1 - \sqrt{14}$ не удовлетворяет условию, так как $\sqrt{14} > 1$, поэтому $1 - \sqrt{14} < 0$.
Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(-(x-1)) - 15 = 0$
$x^2 + 2(x-1) - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 2 - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 17 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 3\sqrt{2}$.
Получаем два корня: $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$ и $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$.
Проверяем условие $x < 1$.
Для $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$: поскольку $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $3\sqrt{2} > 2$. Следовательно, $-1 + 3\sqrt{2} > 1$. Этот корень не удовлетворяет условию.
Для $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$: этот корень очевидно отрицательный, значит, он меньше 1 и удовлетворяет условию.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня исходного уравнения.
Ответ: $x = 1 + \sqrt{14}$, $x = -1 - 3\sqrt{2}$.

44. Решите уравнение:

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} = 12x - 18;$

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} = 5x + 21;$

3) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90;$

4) $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35.$

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} = 12x - 18$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$2x - 4 \neq 0$
$2x \neq 4$
$x \neq 2$

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а в знаменателе вынесем общий множитель:
$\frac{x^3 - 2^3}{2(x - 2)} = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{2(x-2)}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$:
$\frac{x^2 + 2x + 4}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$\frac{x^2 + 2x + 4}{2} = 12x - 18$
$x^2 + 2x + 4 = 2(12x - 18)$
$x^2 + 2x + 4 = 24x - 36$
$x^2 + 2x - 24x + 4 + 36 = 0$
$x^2 - 22x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 22$
$x_1 \cdot x_2 = 40$
Корни уравнения: $x_1 = 20$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_2=2$ является посторонним.
Ответ: $20$.

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} = 5x + 21$

ОДЗ:
$4x + 6 \neq 0$
$4x \neq -6$
$x \neq -\frac{6}{4} \implies x \neq -1.5$

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{(2x)^3 + 3^3}{2(2x + 3)} = \frac{(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)}{2(2x+3)}$

Сократим дробь на $(2x+3)$, так как $x \neq -1.5$:
$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2}$

Решим полученное уравнение:
$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2} = 5x + 21$
$4x^2 - 6x + 9 = 2(5x + 21)$
$4x^2 - 6x + 9 = 10x + 42$
$4x^2 - 16x - 33 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4(4)(-33) = 256 + 528 = 784 = 28^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 28}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm 28}{8}$
$x_1 = \frac{16 + 28}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5.5$
$x_2 = \frac{16 - 28}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1.5$). Корень $x_2=-1.5$ является посторонним.
Ответ: $5.5$.

3) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90$

ОДЗ:
$25 - x^2 \neq 0$
$x^2 \neq 25 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Упростим левую часть уравнения. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x^2)^2 - 25^2}{-(x^2 - 25)} = \frac{(x^2-25)(x^2+25)}{-(x^2-25)}$

Сократим дробь на $(x^2-25)$, так как $x^2 \neq 25$:
$-(x^2+25)$

Решим полученное уравнение:
$-(x^2+25) = -8x - 90$
$-x^2 - 25 = -8x - 90$
$x^2 - 8x - 90 + 25 = 0$
$x^2 - 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4(1)(-65) = 64 + 260 = 324 = 18^2$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm 18}{2}$
$x_1 = \frac{8 + 18}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{8 - 18}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 5$). Корень $x_2=-5$ является посторонним.
Ответ: $13$.

4) $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35$

ОДЗ:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

Упростим левую часть, разложив числитель по формуле разности кубов:
$\frac{x^3 - 5^3}{x - 5} = \frac{(x-5)(x^2 + 5x + 25)}{x-5}$

Сократим дробь на $(x-5)$, так как $x \neq 5$:
$x^2 + 5x + 25$

Решим полученное уравнение:
$x^2 + 5x + 25 = 8x + 35$
$x^2 + 5x - 8x + 25 - 35 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -10$
Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$). Корень $x_1=5$ является посторонним.
Ответ: $-2$.

45. Приведите пример уравнения вида $(x - c)^2 - a = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

1) имеет два целых корня;

Общий вид решения уравнения $(x-c)^2 - a = 0$ это $x = c \pm \sqrt{a}$. Чтобы корни были целыми, необходимо, чтобы $c$ было целым числом, а $a$ — точным квадратом целого числа (отличного от нуля, чтобы было два различных корня). Возьмем, к примеру, $c = 5$ и $a = 9$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{9} = 3$. Корнями уравнения будут $x = 5 \pm 3$. Первый корень $x_1 = 5 + 3 = 8$. Второй корень $x_2 = 5 - 3 = 2$. Оба корня являются целыми числами.
Ответ: $(x-5)^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;

Корни уравнения $x = c \pm \sqrt{a}$ являются рациональными, если $c$ — рациональное число, и $a$ — точный квадрат рационального числа ($a = k^2$, где $k$ — рациональное число, $k \neq 0$). Чтобы получить рациональные, но не целые корни, можно выбрать $c$ целым, а $\sqrt{a}$ — дробным. Возьмем, к примеру, $c = 1$ и $a = \frac{1}{4}$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Корнями уравнения будут $x = 1 \pm \frac{1}{2}$. Первый корень $x_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Второй корень $x_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $(x-1)^2 - \frac{1}{4} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;

Корни $x = c \pm \sqrt{a}$ будут иррациональными, если $\sqrt{a}$ является иррациональным числом. Это происходит, когда $a$ — положительное число, которое не является точным квадратом рационального числа. При этом $c$ может быть рациональным числом (например, целым). Возьмем, к примеру, $c = 2$ и $a = 3$. Число $3$ не является квадратом рационального числа, поэтому $\sqrt{3}$ иррационально. Корнями уравнения будут $x = 2 \pm \sqrt{3}$. Первый корень $x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Второй корень $x_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба корня являются иррациональными числами.
Ответ: $(x-2)^2 - 3 = 0$.

4) не имеет действительных корней.

Уравнение $(x-c)^2 = a$ имеет действительные корни только при $a \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа $(x-c)$ не может быть отрицательным. Следовательно, чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо, чтобы значение $a$ было отрицательным ($a < 0$). Возьмем любое действительное число $c$, например, $c = 4$, и любое отрицательное число $a$, например, $a = -5$. Уравнение примет вид $(x-4)^2 - (-5) = 0$, то есть $(x-4)^2 + 5 = 0$. Перенесем $5$ в правую часть: $(x-4)^2 = -5$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $(x-4)^2 + 5 = 0$.