Номер 45, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. Приведите пример уравнения вида $(x - c)^2 - a = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

1) имеет два целых корня;

Общий вид решения уравнения $(x-c)^2 - a = 0$ это $x = c \pm \sqrt{a}$. Чтобы корни были целыми, необходимо, чтобы $c$ было целым числом, а $a$ — точным квадратом целого числа (отличного от нуля, чтобы было два различных корня). Возьмем, к примеру, $c = 5$ и $a = 9$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{9} = 3$. Корнями уравнения будут $x = 5 \pm 3$. Первый корень $x_1 = 5 + 3 = 8$. Второй корень $x_2 = 5 - 3 = 2$. Оба корня являются целыми числами.
Ответ: $(x-5)^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;

Корни уравнения $x = c \pm \sqrt{a}$ являются рациональными, если $c$ — рациональное число, и $a$ — точный квадрат рационального числа ($a = k^2$, где $k$ — рациональное число, $k \neq 0$). Чтобы получить рациональные, но не целые корни, можно выбрать $c$ целым, а $\sqrt{a}$ — дробным. Возьмем, к примеру, $c = 1$ и $a = \frac{1}{4}$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Корнями уравнения будут $x = 1 \pm \frac{1}{2}$. Первый корень $x_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Второй корень $x_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $(x-1)^2 - \frac{1}{4} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;

Корни $x = c \pm \sqrt{a}$ будут иррациональными, если $\sqrt{a}$ является иррациональным числом. Это происходит, когда $a$ — положительное число, которое не является точным квадратом рационального числа. При этом $c$ может быть рациональным числом (например, целым). Возьмем, к примеру, $c = 2$ и $a = 3$. Число $3$ не является квадратом рационального числа, поэтому $\sqrt{3}$ иррационально. Корнями уравнения будут $x = 2 \pm \sqrt{3}$. Первый корень $x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Второй корень $x_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба корня являются иррациональными числами.
Ответ: $(x-2)^2 - 3 = 0$.

4) не имеет действительных корней.

Уравнение $(x-c)^2 = a$ имеет действительные корни только при $a \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа $(x-c)$ не может быть отрицательным. Следовательно, чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо, чтобы значение $a$ было отрицательным ($a < 0$). Возьмем любое действительное число $c$, например, $c = 4$, и любое отрицательное число $a$, например, $a = -5$. Уравнение примет вид $(x-4)^2 - (-5) = 0$, то есть $(x-4)^2 + 5 = 0$. Перенесем $5$ в правую часть: $(x-4)^2 = -5$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $(x-4)^2 + 5 = 0$.