Номер 52, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Не вычисляя корней уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2$;

2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$;

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1 x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то их сумма и произведение равны:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1x_2 = q$

Для данного уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$ коэффициенты равны $p = -5$ и $q = -9$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ этого уравнения справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1x_2 = -9$

Прежде чем приступить к вычислениям, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-9) = 25 + 36 = 61$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем значения заданных выражений, не вычисляя сами корни.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Выразим из нее искомое выражение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (5)^2 - 2 \cdot (-9) = 25 + 18 = 43$.

Ответ: 43

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-9) \cdot 5 = -45$.

Ответ: -45

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней используем формулу $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (5)^3 - 3 \cdot (-9) \cdot 5 = 125 - (-135) = 125 + 135 = 260$.

В качестве альтернативы можно использовать формулу $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и результат из пункта 1 ($x_1^2 + x_2^2 = 43$):

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)((x_1^2+x_2^2) - x_1x_2) = 5 \cdot (43 - (-9)) = 5 \cdot (43 + 9) = 5 \cdot 52 = 260$.

Ответ: 260

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$

Сначала найдем сумму четвертых степеней корней $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат выражение $x_1^2 + x_2^2$, которое мы нашли в пункте 1:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + 2(x_1x_2)^2 + x_2^4$

Отсюда выразим $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим значения $x_1^2 + x_2^2 = 43$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^4 + x_2^4 = (43)^2 - 2 \cdot (-9)^2 = 1849 - 2 \cdot 81 = 1849 - 162 = 1687$.

Теперь найдем значение всего выражения, прибавив $x_1x_2$:

$x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2 = 1687 + (-9) = 1687 - 9 = 1678$.

Ответ: 1678