Номер 55, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55.

1) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$;

2) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$;

3) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x - 1) = 12$;

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$.

1) $(x+1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$

Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x+1)^4 - (x+1)^2 = 12$

Это биквадратное уравнение относительно $(x+1)$. Введем замену: пусть $t = (x+1)^2$. Так как $t$ является квадратом выражения, $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t = 12$

$t^2 - t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$t_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной:

$(x+1)^2 = 4$

Из этого следует два случая:

$x+1 = 2 \implies x = 1$

$x+1 = -2 \implies x = -3$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -3$.

2) $(x-2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$

Заметим, что выражение $x^2 - 4x$ можно связать с $(x-2)^2$. Раскроем квадрат: $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.

Отсюда $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x-2)^4 + ((x-2)^2 - 4) = 16$

$(x-2)^4 + (x-2)^2 - 4 - 16 = 0$

$(x-2)^4 + (x-2)^2 - 20 = 0$

Введем замену: пусть $t = (x-2)^2$. Учитывая, что $t$ - это квадрат, $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, отбрасываем его.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Вернемся к переменной $x$:

$(x-2)^2 = 4$

Извлекаем корень из обеих частей:

$x-2 = 2 \implies x = 4$

$x-2 = -2 \implies x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

3) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x - 1) = 12$

В обеих скобках присутствует одинаковое выражение $x^2 - 3x$. Введем замену: пусть $t = x^2 - 3x$.

Тогда уравнение преобразуется к виду:

$(t + 3)(t - 1) = 12$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - t + 3t - 3 = 12$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $t$.

Случай 1: $t = 3$

$x^2 - 3x = 3$

$x^2 - 3x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Случай 2: $t = -5$

$x^2 - 3x = -5$

$x^2 - 3x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$.

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$

В обеих скобках есть общее выражение $x^2 + 3x$. Сделаем замену: пусть $t = x^2 + 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 + t + 3t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t + 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t + 2 = 0$, то есть $t = -2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x = -2$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Это простое квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -2$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -2$.