Номер 58, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

58. Укажите допустимые значения переменной x в выражении:

1) $\sqrt{x^3}$;

2) $\sqrt{x^2 + 1}$;

3) $\sqrt{-x^2}$;

4) $\sqrt{x^4}$;

5) $\sqrt{(4 - x)^2}$;

6) $\sqrt{-x^3}$.

1) $\sqrt{x^3}$

Допустимые значения переменной $x$ для выражения с квадратным корнем определяются условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае это $x^3$. Решаем неравенство: $x^3 \geq 0$ Куб числа неотрицателен тогда и только тогда, когда само число неотрицательно. Следовательно, $x \geq 0$.

Ответ: $x \geq 0$, или $x \in [0; +\infty)$.

2) $\sqrt{x^2 + 1}$

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ должно быть неотрицательным: $x^2 + 1 \geq 0$ Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \geq 0$), то сумма $x^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1. $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ Неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $\sqrt{-x^2}$

Подкоренное выражение $-x^2$ должно быть неотрицательным: $-x^2 \geq 0$ Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \leq 0$ Так как мы знаем, что $x^2 \geq 0$ для любого $x$, единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($x^2 \leq 0$ и $x^2 \geq 0$), это $x^2 = 0$. Это означает, что $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $\sqrt{x^4}$

Подкоренное выражение $x^4$ должно быть неотрицательным: $x^4 \geq 0$ Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), всегда является неотрицательным. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $\sqrt{(4 - x)^2}$

Подкоренное выражение $(4 - x)^2$ должно быть неотрицательным: $(4 - x)^2 \geq 0$ Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $\sqrt{-x^3}$

Подкоренное выражение $-x^3$ должно быть неотрицательным: $-x^3 \geq 0$ Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^3 \leq 0$ Куб числа неположителен тогда и только тогда, когда само число неположительно. Следовательно, $x \leq 0$.

Ответ: $x \leq 0$, или $x \in (-\infty; 0]$.