Номер 65, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

65. Найдите наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $(2-x)(x-8)^2 \ge 0;$

2) $(x-3)^2(x-9) < 0.

1)

Решим неравенство $(2-x)(x-8)^2 \ge 0$.

Выражение $(x-8)^2$ неотрицательно при любом значении $x$, так как это квадрат. Оно равно нулю при $x=8$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Неравенство выполняется, если:

1. Произведение равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$2-x=0 \implies x=2$.
$(x-8)^2=0 \implies x-8=0 \implies x=8$.
Числа $2$ и $8$ являются решениями неравенства.

2. Произведение строго больше нуля: $(2-x)(x-8)^2 > 0$.
Поскольку $(x-8)^2 > 0$ для всех $x \ne 8$, мы можем разделить обе части неравенства на $(x-8)^2$, сохранив знак неравенства:
$2-x > 0$
$x < 2$

Объединяя все полученные решения, мы имеем $x \le 2$ или $x=8$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, это $1, 2$ и $8$.
Наибольшим из этих натуральных чисел является $8$.

Ответ: 8

2)

Решим неравенство $(x-3)^2(x-9) < 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Поскольку неравенство строгое, произведение не может быть равно нулю, а значит $x \ne 3$. При $x \ne 3$ множитель $(x-3)^2$ всегда строго положителен.

Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-9)$ был отрицательным, так как $(x-3)^2$ положителен.

Таким образом, мы решаем систему условий:
$\begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ x-9 < 0 \end{cases}$

Первое условие $ (x-3)^2 > 0 $ выполняется при всех $x \ne 3$.
Второе условие $x-9 < 0$ выполняется при $x < 9$.

Общее решение - это все числа, которые меньше $9$, за исключением числа $3$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому решению: $1, 2, 4, 5, 6, 7, 8$.
Наибольшим из этих натуральных чисел является $8$.

Ответ: 8