Номер 64, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

64. Найдите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $\frac{x+1}{x-5} \leq 0;$

2) $\frac{10-x}{x-2} \geq 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{x+1}{x-5} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x-5=0 \implies x=5$.

Точка $x=-1$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=5$ решением не является, так как она обращает в ноль знаменатель (на ноль делить нельзя). Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

- на интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=6 \implies \frac{7}{1} > 0$);

- на интервале $(-1; 5)$ выражение отрицательно (например, при $x=0 \implies \frac{1}{-5} < 0$);

- на интервале $(-\infty; -1)$ выражение положительно (например, при $x=-2 \implies \frac{-1}{-7} > 0$).

Решением неравенства является промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервала $(-1; 5)$ и точки $x=-1$, то есть $x \in [-1; 5)$.

Натуральные числа (целые положительные) из этого промежутка: $1, 2, 3, 4$.

Наименьшим из этих натуральных чисел является 1.

Ответ: 1

2) Для решения неравенства $\frac{10-x}{x-2} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $10-x=0 \implies x=10$ и $x-2=0 \implies x=2$.

Точка $x=10$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=2$ решением не является, так как она обращает в ноль знаменатель. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

- на интервале $(10; +\infty)$ выражение отрицательно (например, при $x=11 \implies \frac{-1}{9} < 0$);

- на интервале $(2; 10)$ выражение положительно (например, при $x=3 \implies \frac{7}{1} > 0$);

- на интервале $(-\infty; 2)$ выражение отрицательно (например, при $x=0 \implies \frac{10}{-2} < 0$).

Решением неравенства является промежуток, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервала $(2; 10)$ и точки $x=10$, то есть $x \in (2; 10]$.

Натуральные числа из этого промежутка: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Наименьшим из этих натуральных чисел является 3.

Ответ: 3