Номер 61, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

61. Решите неравенства:

1) $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \geq 0;$

2) $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \leq 0;$

3) $\frac{x + 5}{x - 6} \geq 0;$

4) $\frac{x - 7}{x + 2} \leq 0;$

5) $\frac{x}{x - 7} \geq 2;$

6) $\frac{x}{6 + x} \leq -1;$

7) $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0;$

8) $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) > 0.$

1) Для решения неравенства $(x-10)(x+5)(x-6) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(x-10)(x+5)(x-6) = 0$. Корнями являются $x=-5$, $x=6$ и $x=10$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки будут включены в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными кружками и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно (имеет знак "+").

Ответ: $x \in [-5, 6] \cup [10, \infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)(x-7)(x+11) \le 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x+2)(x-7)(x+11) = 0$ равны $x=-11$, $x=-2$ и $x=7$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки включаются в решение и отмечаются на оси закрашенными кружками.

Выбираем интервалы, где выражение не положительно (имеет знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup [-2, 7]$.

3) Для решения неравенства $\frac{x+5}{x-6} \ge 0$ используем метод интервалов. Находим нуль числителя: $x+5=0 \implies x=-5$. Находим нуль знаменателя: $x-6=0 \implies x=6$. Точка $x=-5$ включается в решение (закрашенный кружок), так как неравенство нестрогое. Точка $x=6$ исключается (выколотый кружок), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (6, \infty)$.

4) Для решения неравенства $\frac{x-7}{x+2} \le 0$ находим нуль числителя $x=7$ и нуль знаменателя $x=-2$. Точка $x=7$ включается в решение, точка $x=-2$ исключается. Отмечаем точки на оси и расставляем знаки.

Выбираем интервал, где выражение не положительно (знак "−").

Ответ: $x \in (-2, 7]$.

5) Сначала преобразуем неравенство $\frac{x}{x-7} \ge 2$, перенеся всё в левую часть: $\frac{x}{x-7} - 2 \ge 0$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{x - 2(x-7)}{x-7} \ge 0$, что даёт $\frac{x - 2x + 14}{x-7} \ge 0$, или $\frac{-x+14}{x-7} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x-14}{x-7} \le 0$. Теперь решаем методом интервалов. Нуль числителя $x=14$ (включается), нуль знаменателя $x=7$ (исключается).

Выбираем интервал со знаком "−".

Ответ: $x \in (7, 14]$.

6) Преобразуем неравенство $\frac{x}{6+x} \le -1$: $\frac{x}{6+x} + 1 \le 0 \implies \frac{x+6+x}{6+x} \le 0 \implies \frac{2x+6}{x+6} \le 0$. Разделим числитель на 2: $\frac{x+3}{x+6} \le 0$. Нуль числителя $x=-3$ (включается), нуль знаменателя $x=-6$ (исключается).

Выбираем интервал со знаком "−".

Ответ: $x \in (-6, -3]$.

7) В неравенстве $(x-1)(x-2)^2(x-3) < 0$ есть множитель $(x-2)^2$, который всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \ne 2$ (иначе выражение равно 0), и $x \ne 1, x \ne 3$. При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен, и на него можно разделить, сохранив знак неравенства: $(x-1)(x-3) < 0$. Корни этого неравенства $x=1$ и $x=3$. Решением является интервал между корнями: $(1, 3)$. Учитывая, что $x \ne 2$, получаем объединение двух интервалов.

При переходе через точку $x=2$ (корень четной кратности) знак выражения не меняется. Выбираем интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

8) В неравенстве $(x+3)^2(x+2)(x+1) > 0$ множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство строгое, поэтому $x \ne -3, x \ne -2, x \ne -1$. При $x \ne -3$ можно разделить на $(x+3)^2 > 0$, получив $(x+2)(x+1) > 0$. Корни этого неравенства $x=-2$ и $x=-1$. Решением является область вне корней: $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$. Исключим из этого решения точку $x=-3$, которая попадает в интервал $(-\infty, -2)$.

При переходе через точку $x=-3$ (корень четной кратности) знак выражения не меняется. Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.