Номер 67, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

67. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(x+5)(x-6)^2 < 0;$

2) $(x+6)^2(5-x) > 0.$

1) Решим неравенство $(x+5)(x-6)^2 < 0$.

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем нули выражения, стоящего в левой части:

$(x+5)(x-6)^2 = 0$

Это равенство выполняется, если $x+5=0$ или $(x-6)^2=0$. Отсюда получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), то эти точки не входят в решение (на числовой оси они будут выколотыми).

Обратим внимание на множитель $(x-6)^2$. Квадрат любого действительного числа (кроме нуля) является положительным числом, то есть $(x-6)^2 > 0$ при $x \ne 6$.

Так как один из множителей ($(x-6)^2$) положителен при $x \ne 6$, то для того, чтобы все произведение было отрицательным, другой множитель ($(x+5)$) должен быть отрицательным.

Таким образом, неравенство сводится к системе:

$ \begin{cases} x+5 < 0 \\ x \ne 6 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x < -5$. Условие $x \ne 6$ автоматически выполняется, так как любое число, меньшее -5, не равно 6.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $x \in (-\infty; -5)$.

На числовой оси это выглядит так (знаки показывают значение выражения на интервалах):

Требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа в интервале $(-\infty; -5)$ — это ..., -8, -7, -6. Наибольшим из них является -6.

Ответ: -6.

2) Решим неравенство $(x+6)^2(5-x) > 0$.

Найдем нули выражения в левой части: $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$. Так как неравенство строгое, эти точки не являются решениями.

Множитель $(x+6)^2$ положителен при всех значениях $x$, кроме $x=-6$.

Чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы второй множитель $(5-x)$ также был положительным, при условии, что $x \ne -6$.

Получаем систему условий:

$ \begin{cases} 5-x > 0 \\ x \ne -6 \end{cases} $

Из первого неравенства имеем $5 > x$, или $x < 5$.

Совмещая оба условия, получаем, что решением является множество всех чисел, меньших 5, за исключением -6. Это можно записать как объединение интервалов: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 5)$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти наибольшее целое число из этого множества. Целые числа, которые меньше 5, это 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -7, ... Наибольшим из них является 4. Оно принадлежит интервалу $(-6; 5)$.

Ответ: 4.