Номер 73, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

73. В координатной плоскости покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $\begin{cases} y < x^2; \\ x - 5 &\ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 &\le 4; \\ x - y &< 2. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < x^2 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} $$ Решим эту систему графически. Для этого построим в координатной плоскости $Oxy$ множества точек, удовлетворяющих каждому неравенству, и найдем их пересечение.

Первое неравенство, $y < x^2$, задает множество точек, лежащих строго ниже параболы $y = x^2$. Граница этой области, сама парабола $y = x^2$, не входит в решение, поэтому мы изобразим ее пунктирной линией. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх.

Второе неравенство, $x - 5 \ge 0$, можно переписать в виде $x \ge 5$. Оно задает множество точек, расположенных на прямой $x=5$ и правее нее. Эта область представляет собой правую замкнутую полуплоскость. Граница, вертикальная прямая $x=5$, является частью решения, поэтому мы изобразим ее сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно и ниже параболы $y = x^2$, и правее (или на) прямой $x=5$. Найдем точку пересечения границ: $x=5$, $y=x^2 \Rightarrow y=5^2=25$. Точка пересечения — $(5, 25)$. Искомое множество точек на графике показано штриховкой.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная слева сплошной прямой $x=5$ (включая саму прямую) и сверху пунктирной параболой $y=x^2$ (не включая саму параболу).

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ x - y < 2 \end{cases} $$ Решим эту систему графически, найдя пересечение множеств точек, удовлетворяющих каждому из неравенств.

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает множество точек, находящихся внутри и на границе круга с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница, окружность $x^2 + y^2 = 4$, включается в решение, поэтому мы изобразим ее сплошной линией.

Второе неравенство, $x - y < 2$, можно преобразовать к виду $y > x - 2$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную строго выше прямой $y = x - 2$. Чтобы определить, какую полуплоскость выбрать, можно взять пробную точку, например, (0,0). Подставив ее в неравенство, получим $0 - 0 < 2$, что является верным утверждением ($0 < 2$). Следовательно, нам нужна полуплоскость, содержащая начало координат. Граница, прямая $y=x-2$, не входит в решение, поэтому мы изобразим ее пунктирной линией. Эта прямая проходит через точки (0, -2) и (2, 0).

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 2, которая лежит выше прямой $y=x-2$. Границами искомой области являются дуга окружности (сплошная линия) и хорда, лежащая на прямой $y=x-2$ (пунктирная линия).

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга $x^2+y^2 \le 4$, отсекаемый прямой $y=x-2$. Граница, принадлежащая окружности, включается в множество (сплошная линия), а граница, принадлежащая прямой, не включается (пунктирная линия).