Номер 80, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

80. 1) $f(x) = -3x + 6x^2 + 2$;

2) $f(x) = 3 - x + 2x^2$;

3) $f(x) = -3|x| + x^2 - 4$;

4) $f(x) = 10 - 3|x| - x^2$.

1)

Дана функция $f(x) = -3x + 6x^2 + 2$. Для анализа запишем ее в стандартном виде квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$:

$f(x) = 6x^2 - 3x + 2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=6$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:

$x_v = \frac{-(-3)}{2 \cdot 6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = f(\frac{1}{4}) = 6(\frac{1}{4})^2 - 3(\frac{1}{4}) + 2 = 6 \cdot \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{8} - \frac{6}{8} + \frac{16}{8} = \frac{13}{8}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}, \frac{13}{8})$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в вершине функция достигает своего наименьшего значения. Наименьшее значение функции: $y_{min} = \frac{13}{8}$.

Область значений функции: $E(f) = [\frac{13}{8}, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 6(0)^2 - 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.

С осью Ox (при $f(x)=0$): $6x^2 - 3x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 9 - 48 = -39$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: Функция $f(x) = 6x^2 - 3x + 2$ является параболой с ветвями вверх. Вершина находится в точке $(\frac{1}{4}, \frac{13}{8})$. Наименьшее значение функции равно $\frac{13}{8}$. Область значений: $[\frac{13}{8}, +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty, \frac{1}{4}]$ и возрастает на $[\frac{1}{4}, +\infty)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и не пересекает ось Ox.

2)

Дана функция $f(x) = 3 - x + 2x^2$. Запишем ее в стандартном виде:

$f(x) = 2x^2 - x + 3$.

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

$y_v = f(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 3 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}, \frac{23}{8})$.

Так как ветви параболы направлены вверх, в вершине достигается наименьшее значение функции: $y_{min} = \frac{23}{8}$.

Область значений функции: $E(f) = [\frac{23}{8}, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 2(0)^2 - 0 + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.

С осью Ox (при $f(x)=0$): $2x^2 - x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: Функция $f(x) = 2x^2 - x + 3$ является параболой с ветвями вверх. Вершина находится в точке $(\frac{1}{4}, \frac{23}{8})$. Наименьшее значение функции равно $\frac{23}{8}$. Область значений: $[\frac{23}{8}, +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty, \frac{1}{4}]$ и возрастает на $[\frac{1}{4}, +\infty)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 3)$ и не пересекает ось Ox.

3)

Дана функция $f(x) = -3|x| + x^2 - 4$. Перепишем ее для удобства: $f(x) = x^2 - 3|x| - 4$.

Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 3|-x| - 4 = x^2 - 3|x| - 4 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $f(x) = x^2 - 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$. Так как $x_v = \frac{3}{2} \ge 0$, эта точка является точкой минимума для $x \ge 0$. Значение функции в этой точке: $f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = \frac{9-18-16}{4} = -\frac{25}{4}$.

В силу четности функции, при $x < 0$ также будет точка минимума при $x = -\frac{3}{2}$ с тем же значением $f(-\frac{3}{2}) = -\frac{25}{4}$.

В точке $x=0$ значение функции $f(0) = 0^2 - 3|0| - 4 = -4$. Эта точка является точкой локального максимума, так как функция возрастает на $[-\frac{3}{2}, 0]$ и убывает на $[0, \frac{3}{2}]$.

Экстремумы функции:

Точки минимума: $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ и $(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$. Это точки глобального минимума.

Точка локального максимума: $(0, -4)$.

Наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{25}{4}$. Область значений: $E(f) = [-\frac{25}{4}, +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, -\frac{3}{2}]$ и на $[0, \frac{3}{2}]$; возрастает на $[-\frac{3}{2}, 0]$ и на $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

Найдем точки пересечения с осями.

С осью Oy: $(0, -4)$.

С осью Ox: $x^2 - 3|x| - 4 = 0$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получим уравнение $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=4$. Тогда $|x| = 4$, откуда $x = \pm 4$. Точки пересечения: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = x^2 - 3|x| - 4$ четная. Глобальные минимумы в точках $(\pm \frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$. Локальный максимум в точке $(0, -4)$. Наименьшее значение $y_{min} = -\frac{25}{4}$. Область значений $E(f) = [-\frac{25}{4}, +\infty)$. Промежутки возрастания: $[-\frac{3}{2}, 0]$ и $[\frac{3}{2}, +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty, -\frac{3}{2}]$ и $[0, \frac{3}{2}]$. Точки пересечения с осями: $(0, -4)$, $(-4, 0)$, $(4, 0)$.

4)

Дана функция $f(x) = 10 - 3|x| - x^2$. Перепишем ее: $f(x) = -x^2 - 3|x| + 10$.

Функция является четной, так как $f(-x) = -(-x)^2 - 3|-x| + 10 = -x^2 - 3|x| + 10 = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим функцию при $x \ge 0$: $f(x) = -x^2 - 3x + 10$. Это парабола с ветвями вниз ($a=-1 < 0$). Абсцисса вершины $x_v = \frac{-(-3)}{2(-1)} = -\frac{3}{2}$. Так как $x_v < 0$, на промежутке $[0, +\infty)$ функция монотонно убывает.

Рассмотрим функцию при $x < 0$: $f(x) = -x^2 + 3x + 10$. Это парабола с ветвями вниз. Абсцисса вершины $x_v = \frac{-3}{2(-1)} = \frac{3}{2}$. Так как $x_v > 0$, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция монотонно возрастает.

Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение: $f(0) = -0^2 - 3|0| + 10 = 10$.

Точка максимума: $(0, 10)$. Это глобальный максимум.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, 10]$.

Найдем точки пересечения с осями.

С осью Oy: $(0, 10)$.

С осью Ox: $-x^2 - 3|x| + 10 = 0$, или $x^2 + 3|x| - 10 = 0$. Сделаем замену $t = |x|$, $t \ge 0$. Получим $t^2 + 3t - 10 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=2$. Тогда $|x| = 2$, откуда $x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Функция $f(x) = -x^2 - 3|x| + 10$ четная. Глобальный максимум в точке $(0, 10)$. Наибольшее значение $y_{max} = 10$. Область значений $E(f) = (-\infty, 10]$. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(0, 10)$, $(-2, 0)$, $(2, 0)$.