Номер 83, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

83. 1) $y = |x + 4|$;

2) $y = |x^2 - 4|$;

3) $y = 2|x^2 - 1|$;

4) $y = -|x^2 - 2|.$

1) $y = |x + 4|$

Для построения графика функции $y = |x + 4|$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить график базовой функции $y = x + 4$. Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения:
- Если $x=0$, то $y=4$. Точка $(0, 4)$.
- Если $y=0$, то $x+4=0$, откуда $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.
2. Применить операцию взятия модуля. По определению, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$. Это означает, что часть графика функции $y = x + 4$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), должна быть симметрично отражена относительно этой оси.
3. Прямая $y = x + 4$ находится ниже оси Ox при $x < -4$. Эту часть графика (луч, идущий из точки $(-4, 0)$ влево-вниз) мы отражаем вверх.
В результате получается V-образный график ("галочка"), состоящий из двух лучей, сходящихся в точке $(-4, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" или V-образную кривую с вершиной в точке $(-4, 0)$.

2) $y = |x^2 - 4|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ выполним следующие действия:
1. Строим параболу $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх.
2. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$.
3. Применяем операцию модуля. Часть параболы, которая лежит ниже оси Ox (на интервале $(-2, 2)$), симметрично отражается относительно оси Ox.
4. Вершина $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ остаются на месте.
Итоговый график имеет W-образную форму.

Ответ: График функции имеет W-образную форму, с точками излома на оси Ox в $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ и локальным максимумом в точке $(0, 4)$.

3) $y = 2|x^2 - 1|$

Построение этого графика можно разбить на три этапа:
1. Строим параболу $y = x^2 - 1$. Это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Вершина в $(0, -1)$, пересечение с Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$.
2. Применяем модуль: $y = |x^2 - 1|$. Часть параболы на интервале $(-1, 1)$ отражается вверх. Вершина $(0, -1)$ становится точкой $(0, 1)$.
3. Умножаем на 2: $y = 2|x^2 - 1|$. Происходит растяжение графика от оси Ox в 2 раза. Все значения $y$ умножаются на 2. Точка $(0, 1)$ переходит в $(0, 2)$, точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте.
График также имеет W-образную форму, но он более "узкий" и "вытянутый" вверх.

Ответ: График функции имеет W-образную форму, с точками излома на оси Ox в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и локальным максимумом в точке $(0, 2)$.

4) $y = -|x^2 - 2|$

Для построения графика $y = -|x^2 - 2|$ выполним следующие шаги:
1. Сначала построим параболу $y = x^2 - 2$. Ее вершина в точке $(0, -2)$, ветви вверх. Корни: $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
2. Возьмем модуль: $y = |x^2 - 2|$. Часть параболы на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ отразится вверх. Получим W-образный график с вершиной в $(0, 2)$.
3. Применим знак "минус" перед модулем: $y = -|x^2 - 2|$. Это действие отражает весь график $y = |x^2 - 2|$ симметрично относительно оси Ox.
В результате W-образный график "переворачивается". Его "пики" оказываются на оси Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$, которые являются точками максимума функции. А "впадина" (локальный минимум) находится в точке $(0, -2)$. Весь график лежит не выше оси Ox.

Ответ: График функции имеет форму, напоминающую перевернутую букву W, с локальными максимумами на оси Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$ и локальным минимумом в точке $(0, -2)$.