Номер 84, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

84. Решите графически уравнение и запишите приближенное значение корня:

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x + 1}$

2) $x^2 + 3x = \frac{2}{x + 2}$

3) $2x^2 + 4x - 1 = \frac{x}{x + 2}$

4) $-x^2 + 3x = \frac{x - 1}{x + 2}$

5) $x^2 - 4x - 4 = \frac{x - 3}{x - 1}$

6) $-2x^2 + 6x = \frac{x + 1}{x - 2}$

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x + 1}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 4x$ и $y = \frac{1}{x + 1}$.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 4x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
Вершина находится в точке $(2, -4)$. Найдем точки пересечения с осями координат: С осью OY: $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$. С осью OX: $y=0$, $x^2 - 4x = 0$, $x(x-4)=0$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Дополнительные точки: $(1, -3)$, $(5, 5)$, $(-1, 5)$.

2. Построение графика функции $y = \frac{1}{x + 1}$.
Это гипербола. Область определения: $x \neq -1$. Вертикальная асимптота: $x = -1$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. Некоторые точки для построения: $(0, 1)$, $(1, 0.5)$, $(-2, -1)$, $(-3, -0.5)$.

3. Построение графиков и нахождение решения.
Построим оба графика на одной координатной плоскости. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями исходного уравнения.

Из графика видно, что графики пересекаются в трех точках (две из них очень близки). Приблизительные значения абсцисс точек пересечения: $x_1 \approx -0.45$, $x_2 \approx -0.2$, $x_3 \approx 4.05$. В рамках школьной программы, где требуется графическое решение, часто достаточно указать два очевидных корня, если третий трудно различим. Однако, аналитическое исследование показывает наличие трех корней. Приближенное решение: $x_1 \approx -0.4$, $x_2 \approx 4.1$. (Если считать, что третий корень трудно найти графически). Будем считать, что имеется три корня, как показывает более точный чертеж.

Ответ: $x_1 \approx -0.45, x_2 \approx -0.2, x_3 \approx 4.05$

2) $x^2 + 3x = \frac{2}{x + 2}$

Построим графики функций $y = x^2 + 3x$ и $y = \frac{2}{x + 2}$.

1. График $y = x^2 + 3x$.
Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_0 = -\frac{3}{2} = -1.5$, $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Точка $(-1.5, -2.25)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$ и $(-3, 0)$. Дополнительные точки: $(1, 4)$, $(-1, -2)$, $(-4, 4)$.

2. График $y = \frac{2}{x + 2}$.
Гипербола, $x \neq -2$. Асимптоты: $x = -2$ и $y = 0$. Точки: $(0, 1)$, $(-1, 2)$, $(-3, -2)$, $(-4, -1)$.

3. Построение и решение.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки примерно равна $0.3$.

Ответ: $x \approx 0.3$

3) $2x^2 + 4x - 1 = \frac{x}{x + 2}$

Построим графики функций $y = 2x^2 + 4x - 1$ и $y = \frac{x}{x + 2}$.

1. График $y = 2x^2 + 4x - 1$.
Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$, $y_0 = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = -3$. Точка $(-1, -3)$. Пересечение с OY: $(0, -1)$. Пересечение с OX: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$, т.е. $x \approx 0.22$ и $x \approx -2.22$. Дополнительные точки: $(-2, -1)$, $(-3, 5)$, $(1, 5)$.

2. График $y = \frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x+2}$.
Гипербола, $x \neq -2$. Асимптоты: $x = -2$ и $y = 1$. Точки: $(0, 0)$, $(-1, -1)$, $(-3, 3)$, $(-4, 2)$.

3. Построение и решение.

Графики пересекаются в трех точках. Приблизительные абсциссы этих точек: $x_1 \approx -2.8$, $x_2 \approx -2.05$, $x_3 \approx 0.3$.

Ответ: $x_1 \approx -2.8, x_2 \approx -2.05, x_3 \approx 0.3$

4) $-x^2 + 3x = \frac{x - 1}{x + 2}$

Построим графики функций $y = -x^2 + 3x$ и $y = \frac{x - 1}{x + 2}$.

1. График $y = -x^2 + 3x$.
Парабола, ветви вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5$, $y_0 = -(1.5)^2 + 3(1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Точка $(1.5, 2.25)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$ и $(3, 0)$. Дополнительные точки: $(1, 2)$, $(2, 2)$, $(-1, -4)$, $(4, -4)$.

2. График $y = \frac{x - 1}{x + 2} = 1 - \frac{3}{x + 2}$.
Гипербола, $x \neq -2$. Асимптоты: $x = -2$ и $y = 1$. Точки: $(0, -0.5)$, $(1, 0)$, $(-1, -2)$, $(-3, 4)$, $(2, 0.25)$.

3. Построение и решение.

Графики пересекаются в трех точках. Приблизительные абсциссы этих точек: $x_1 \approx -1.6$, $x_2 \approx -0.2$, $x_3 \approx 2.85$.

Ответ: $x_1 \approx -1.6, x_2 \approx -0.2, x_3 \approx 2.9$

5) $x^2 - 4x - 4 = \frac{x - 3}{x - 1}$

Построим графики функций $y = x^2 - 4x - 4$ и $y = \frac{x - 3}{x - 1}$.

1. График $y = x^2 - 4x - 4$.
Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_0 = 2$, $y_0 = 2^2 - 4(2) - 4 = -8$. Точка $(2, -8)$. Пересечение с OY: $(0, -4)$. Пересечение с OX: $x=2 \pm 2\sqrt{2}$, т.е. $x \approx 4.8$ и $x \approx -0.8$. Дополнительные точки: $(1, -7)$, $(-1, 1)$, $(5, 1)$.

2. График $y = \frac{x - 3}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
Гипербола, $x \neq 1$. Асимптоты: $x = 1$ и $y = 1$. Точки: $(0, 3)$, $(2, -1)$, $(3, 0)$, $(-1, 2)$.

3. Построение и решение.

Графики пересекаются в трех точках. Приблизительные абсциссы: $x_1 \approx -1.15$, $x_2 \approx 1.25$, $x_3 \approx 4.9$.

Ответ: $x_1 \approx -1.2, x_2 \approx 1.2, x_3 \approx 4.9$

6) $-2x^2 + 6x = \frac{x + 1}{x - 2}$

Построим графики функций $y = -2x^2 + 6x$ и $y = \frac{x + 1}{x - 2}$.

1. График $y = -2x^2 + 6x$.
Парабола, ветви вниз. Вершина: $x_0 = 1.5$, $y_0 = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = 4.5$. Точка $(1.5, 4.5)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$ и $(3, 0)$. Дополнительные точки: $(1, 4)$, $(2, 4)$, $(-1, -8)$.

2. График $y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$.
Гипербола, $x \neq 2$. Асимптоты: $x = 2$ и $y = 1$. Точки: $(0, -0.5)$, $(1, -2)$, $(3, 4)$, $(4, 2.5)$, $(-1, 0)$.

3. Построение и решение.

Графики пересекаются в одной точке. Ее абсцисса очень близка к нулю, но отрицательна. Приблизительное значение: $x \approx -0.1$.

Ответ: $x \approx -0.1$