Номер 82, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

82. 1) $y = -\sqrt{x - 4};$

2) $y = -\sqrt{x + 6};$

3) $y = 2 - \sqrt{4 - 2x};$

4) $y = 3 - \sqrt{7 - 3x}.$

1) Для функции $y = -\sqrt{x - 4}$ найдем ее область определения и область значений.

Область определения функции (D(y)) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений функции (E(y)) — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно:

$\sqrt{x - 4} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-\sqrt{x - 4} \le 0$

Так как $y = -\sqrt{x-4}$, то получаем $y \le 0$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [4; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

2) Для функции $y = -\sqrt{x + 6}$ найдем ее область определения и область значений.

Область определения функции (D(y)) находится из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$x + 6 \ge 0$

$x \ge -6$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-6; +\infty)$.

Для нахождения области значений (E(y)) воспользуемся свойством арифметического корня:

$\sqrt{x + 6} \ge 0$

Умножим неравенство на $-1$:

$-\sqrt{x + 6} \le 0$

Отсюда следует, что $y \le 0$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-6; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3) Для функции $y = 2 - \sqrt{4 - 2x}$ найдем ее область определения и область значений.

Найдем область определения (D(y)). Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$4 - 2x \ge 0$

$4 \ge 2x$

$2 \ge x$, или $x \le 2$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2]$.

Найдем область значений (E(y)). Начнем с неотрицательности корня:

$\sqrt{4 - 2x} \ge 0$

Умножим на $-1$:

$-\sqrt{4 - 2x} \le 0$

Прибавим к обеим частям неравенства 2:

$2 - \sqrt{4 - 2x} \le 2$

Так как $y = 2 - \sqrt{4-2x}$, то получаем $y \le 2$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 2]$; область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.

4) Для функции $y = 3 - \sqrt{7 - 3x}$ найдем ее область определения и область значений.

Найдем область определения (D(y)) из условия $7 - 3x \ge 0$:

$7 - 3x \ge 0$

$7 \ge 3x$

$\frac{7}{3} \ge x$, или $x \le \frac{7}{3}$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; \frac{7}{3}]$.

Найдем область значений (E(y)). По определению, $\sqrt{7 - 3x} \ge 0$.

Умножим на $-1$:

$-\sqrt{7 - 3x} \le 0$

Прибавим 3 к обеим частям:

$3 - \sqrt{7 - 3x} \le 3$

Так как $y = 3 - \sqrt{7-3x}$, то получаем $y \le 3$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; \frac{7}{3}]$; область значений $E(y) = (-\infty; 3]$.