Номер 77, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

77. Постройте график функции, заданной формулой:

1) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x};$

2) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x};$

3) $y = \sqrt{x^2};$

4) $y = -x \sqrt{x^2};$

5) $y = x^2 + \frac{\sqrt{x^2}}{x};$

6) $y = x^2 - \frac{-2\sqrt{x^2}}{x};$

7) $y = 2 - x + x \sqrt{x^2};$

8) $y = 3 + 2x - x \sqrt{x^2}.$

Постройте график функции $y = f(x)$. Используя график $f(x)$, найдите, при каких значениях переменной функция $f(x)$ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

1)Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$.
Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$, функцию можно упростить. Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$.
$y = \frac{|x|}{x}$
Раскроем модуль для двух случаев:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{x}{x} = 1$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{-x}{x} = -1$.
Таким образом, функция является кусочной: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
График функции состоит из двух лучей: горизонтального луча $y=1$ для $x>0$ и горизонтального луча $y=-1$ для $x<0$. Точка $x=0$ выколота.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$ при $y=1$, что соответствует $x > 0$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $y=-1$, что соответствует $x < 0$.
Ответ: а) при $x \in (0; +\infty)$; б) при $x \in (-\infty; 0)$.

2)Исходная функция: $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$.
Упростим функцию, используя $\sqrt{x^2} = |x|$. ОДЗ: $x \neq 0$.
$y = \frac{-2|x|}{x}$
Раскроем модуль:
1. Если $x > 0$, то $y = \frac{-2x}{x} = -2$.
2. Если $x < 0$, то $y = \frac{-2(-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.
Кусочная функция: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } x > 0 \\ 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
График состоит из двух лучей с выколотой точкой при $x=0$.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$ при $y=2$, что соответствует $x < 0$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $y=-2$, что соответствует $x > 0$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; 0)$; б) при $x \in (0; +\infty)$.

3)Исходная функция: $y = \sqrt{x^2}$.
По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$y = |x|$
Это стандартная функция модуля. Ее график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:
1. $y = x$, при $x \ge 0$.
2. $y = -x$, при $x < 0$.
График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$ для всех $x$, кроме $x=0$.
б) отрицательные значения: $y$ никогда не принимает отрицательных значений, так как $y = |x| \ge 0$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; б) таких значений нет.

4)Исходная функция: $y = -x \sqrt{x^2}$.
Упростим: $y = -x|x|$.
Раскроем модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $y = -x(x) = -x^2$.
2. Если $x < 0$, то $y = -x(-x) = x^2$.
График состоит из двух частей парабол: ветвь параболы $y=x^2$ для $x<0$ и ветвь параболы $y=-x^2$ для $x \ge 0$. Обе части соединяются в точке $(0,0)$.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x < 0$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x > 0$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; 0)$; б) при $x \in (0; +\infty)$.

5)Исходная функция: $y = x^2 + \frac{\sqrt{x^2}}{x}$.
Упростим: $y = x^2 + \frac{|x|}{x}$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Раскроем модуль:
1. Если $x > 0$, то $y = x^2 + \frac{x}{x} = x^2 + 1$.
2. Если $x < 0$, то $y = x^2 + \frac{-x}{x} = x^2 - 1$.
График состоит из двух частей парабол: ветвь параболы $y=x^2+1$ (парабола $y=x^2$, сдвинутая на 1 вверх) для $x>0$ и ветвь параболы $y=x^2-1$ (парабола $y=x^2$, сдвинутая на 1 вниз) для $x<0$. В точках $x=0$ разрыв (выколотые точки $(0,1)$ и $(0,-1)$).

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$. Для $x>0$ функция $y = x^2+1$ всегда положительна. Для $x<0$ функция $y = x^2-1$ положительна при $x^2>1$, то есть при $x < -1$. Итого: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$. Это возможно только при $x<0$, когда $y = x^2-1 < 0$, то есть $x^2<1$. Учитывая, что $x<0$, получаем $-1 < x < 0$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; б) при $x \in (-1; 0)$.

6)Исходная функция: $y = x^2 - \frac{2\sqrt{x^2}}{x}$.
Упростим: $y = x^2 - \frac{2|x|}{x}$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Раскроем модуль:
1. Если $x > 0$, то $y = x^2 - \frac{2x}{x} = x^2 - 2$.
2. Если $x < 0$, то $y = x^2 - \frac{2(-x)}{x} = x^2 + 2$.
График состоит из двух частей парабол: ветвь параболы $y=x^2+2$ для $x<0$ и ветвь параболы $y=x^2-2$ для $x>0$. В точке $x=0$ разрыв (выколотые точки $(0,2)$ и $(0,-2)$).

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$. Для $x<0$ функция $y = x^2+2$ всегда положительна. Для $x>0$ функция $y = x^2-2$ положительна при $x^2>2$, то есть при $x > \sqrt{2}$. Итого: $x \in (-\infty; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$. Это возможно только при $x>0$, когда $y = x^2-2 < 0$, то есть $x^2<2$. Учитывая, что $x>0$, получаем $0 < x < \sqrt{2}$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$; б) при $x \in (0; \sqrt{2})$.

7)Исходная функция: $y = 2 - x + x\sqrt{x^2}$.
Упростим: $y = 2 - x + x|x|$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Раскроем модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $y = 2 - x + x(x) = x^2 - x + 2$. Это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(1/2, 7/4)$.
2. Если $x < 0$, то $y = 2 - x + x(-x) = -x^2 - x + 2$. Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(-1/2, 9/4)$.
Функция непрерывна в точке $x=0$, так как $y(0) = 0^2-0+2=2$.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$. Для $x \ge 0$ парабола $y = x^2 - x + 2$ всегда выше оси Ox (дискриминант $D < 0$). Для $x < 0$ парабола $y = -x^2 - x + 2$ выше оси Ox между корнями $x=-2$ и $x=1$, т.е. при $-2 < x < 0$. Объединяя, получаем $x > -2$.
б) отрицательные значения: $y < 0$. Это возможно только при $x < 0$, когда парабола $y = -x^2 - x + 2$ ниже оси Ox, т.е. при $x < -2$.
Ответ: а) при $x \in (-2; +\infty)$; б) при $x \in (-\infty; -2)$.

8)Исходная функция: $y = 3 + 2x - x\sqrt{x^2}$.
Упростим: $y = 3 + 2x - x|x|$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Раскроем модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $y = 3 + 2x - x(x) = -x^2 + 2x + 3$. Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(1, 4)$.
2. Если $x < 0$, то $y = 3 + 2x - x(-x) = x^2 + 2x + 3$. Это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(-1, 2)$.
Функция непрерывна в точке $x=0$, так как $y(0) = -0^2+2(0)+3=3$.

Используя график, найдем, при каких значениях переменной функция принимает:
а) положительные значения: $y > 0$. Для $x < 0$ парабола $y = x^2 + 2x + 3$ всегда выше оси Ox ($D < 0$). Для $x \ge 0$ парабола $y = -x^2 + 2x + 3$ выше оси Ox между корнями $x=-1$ и $x=3$, т.е. при $0 \le x < 3$. Объединяя, получаем $x < 3$.
б) отрицательные значения: $y < 0$. Это возможно только при $x \ge 0$, когда парабола $y = -x^2 + 2x + 3$ ниже оси Ox, т.е. при $x > 3$.
Ответ: а) при $x \in (-\infty; 3)$; б) при $x \in (3; +\infty)$.