Номер 74, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

74. Решите неравенство:

1) $\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x + 2)^2}{(x - 5)(x^2 - 9)} \le 0;$

2) $\frac{(x^2 - 2x - 15) \cdot (x + 2)^2}{(x - 4)(x^2 - 25)} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x + 2)^2}{(x - 5)(x^2 - 9)} \le 0$.

Сначала разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

Для числителя: найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. Весь числитель можно записать как $(x - 3)(x + 2) \cdot (x + 2)^2 = (x - 3)(x + 2)^3$.

Для знаменателя: используем формулу разности квадратов $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Весь знаменатель равен $(x - 5)(x - 3)(x + 3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 3)(x + 2)^3}{(x - 5)(x - 3)(x + 3)} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x \neq 5$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Для решения используем метод интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя. Это точки: $5, 3, -2, -3$.

Нули знаменателя ($x=5, x=3, x=-3$) всегда являются выколотыми точками. Нуль числителя $x=-2$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\le 0$) и в этой точке знаменатель не обращается в ноль, поэтому точка будет закрашенной.

Заметим, что множитель $(x-3)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Это означает, что при переходе через точку $x=3$ знак выражения не меняется (так как общая степень этого множителя $1-1=0$ — четная).

Определим знак выражения $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)^3}{(x - 5)(x - 3)(x + 3)}$ на крайнем правом интервале $(5, +\infty)$. Возьмем $x=6$: $f(6) = \frac{(+)(+)^3}{(+)(+)(+)} > 0$.

Двигаясь по числовой оси справа налево:

• При переходе через $x=5$ (корень нечетной кратности 1) знак меняется на «−».
• При переходе через $x=3$ (корень четной кратности 0) знак не меняется и остается «−».
• При переходе через $x=-2$ (корень нечетной кратности 3) знак меняется на «+».
• При переходе через $x=-3$ (корень нечетной кратности 1) знак меняется на «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и закрашенные точки. Решением является объединение $(-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup (3, 5)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 2x - 15) \cdot (x + 2)^2}{(x - 4)(x^2 - 25)} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 - 2x - 15 = 0$ имеет корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$. Весь числитель: $(x - 5)(x + 3)(x + 2)^2$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Весь знаменатель: $(x - 4)(x - 5)(x + 5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 5)(x + 3)(x + 2)^2}{(x - 4)(x - 5)(x + 5)} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq 4$, $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $-5, -3, -2, 4, 5$.

Точки $x=4, x=5, x=-5$ (нули знаменателя) — выколотые. Точки $x=-3, x=-2$ (нули числителя) — закрашенные.

Определим кратность корней, чтобы понять, где знак меняется:

• $x=5$: кратность $1-1=0$ (четная), знак не меняется.
• $x=4$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.
• $x=-2$: кратность 2 (четная), знак не меняется.
• $x=-3$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.
• $x=-5$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.

Определим знак на крайнем правом интервале $(5, +\infty)$. При $x=6$ выражение $\frac{(+)(+)(+)^2}{(+)(+)(+)} > 0$.

Двигаясь справа налево по оси:

• Интервал $(4, 5)$: знак не меняется, «+».
• Интервал $(-2, 4)$: знак меняется, «−».
• Интервал $(-3, -2)$: знак не меняется, «−».
• Интервал $(-5, -3)$: знак меняется, «+».
• Интервал $(-\infty, -5)$: знак меняется, «−».

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и закрашенные точки. Объединяя интервалы $(-\infty, -5)$, $(-3, -2)$, $(-2, 4)$ и точки $x=-3, x=-2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [-3, 4)$.