Страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

70. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} |x| \ge 5; \\ 6 + x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| \le 4; \\ -3 - x \le 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| \ge 5 \\ 6 + x > 0 \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \le -5$ или $x \ge 5$. Решением является объединение промежутков $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $6 + x > 0$ $x > -6$ Решением является промежуток $(-6; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Изобразим решения на числовой оси. Решение первого неравенства показано штриховкой, идущей вниз, а решение второго — штриховкой, идущей вверх.

Пересечением множеств решений (область с двойной штриховкой) является объединение промежутков $(-6; -5]$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $(-6; -5] \cup [5; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| \le 4 \\ -3 - x \le 0 \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \le 4$ равносильно двойному неравенству: $-4 \le x \le 4$. Решением является промежуток $[-4; 4]$.

Решим второе неравенство: $-3 - x \le 0$ $-3 \le x$ $x \ge -3$ Решением является промежуток $[-3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Изобразим решения на числовой оси. Решение первого неравенства ($[-4; 4]$) показано штриховкой, идущей вниз, а решение второго ($[-3; +\infty)$) — штриховкой, идущей вверх.

Пересечением промежутков (область с двойной штриховкой) является промежуток $[-3; 4]$.

Ответ: $[-3; 4]$.

71. 1) Вычислите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} |2x - 3| \le 1, \\ x^2 + x > 0. \end{cases}$

2) Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств: $\begin{cases} |2x + 5| < 3, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0. \end{cases}$

1)

Для решения системы неравенств $\begin{cases}|2x - 3| \le 1, \\x^2 + x > 0,\end{cases}$необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

Сначала решим первое неравенство: $|2x - 3| \le 1$.
Данное неравенство с модулем равносильно системе (или двойному неравенству):
$-1 \le 2x - 3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1 + 3 \le 2x \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$
Разделим все части на 2:
$1 \le x \le 2$
Таким образом, решение первого неравенства есть промежуток $x \in [1, 2]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [1, 2]$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Общим решением системы является промежуток $x \in [1, 2]$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому промежутку, это 1 и 2.

Найдем сумму этих целых чисел:
$1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

2)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}|2x + 5| \le 3, \\x^2 - 5x - 24 \le 0,\end{cases}$также решим каждое неравенство отдельно.

Решим первое неравенство: $|2x + 5| \le 3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 \le 2x + 5 \le 3$
Вычтем 5 из всех частей:
$-3 - 5 \le 2x \le 3 - 5$
$-8 \le 2x \le -2$
Разделим все части на 2:
$-4 \le x \le -1$
Решение первого неравенства есть промежуток $x \in [-4, -1]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 24 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$ с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$x_{1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$
$x_{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8$
Парабола $y = x^2 - 5x - 24$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства есть промежуток $x \in [-3, 8]$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-4, -1]$ и $x \in [-3, 8]$.
Общим решением системы является промежуток $x \in [-3, -1]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1.

Ответ: -3, -2, -1

72.

1) Решите неравенство $ \frac{2x}{x - 1} + \frac{3x - 1}{x^2 - 4} < 2 $ и найдите сумму целых решений неравенства, принадлежащих отрезку [-3; 1];

2) решите неравенство $ \frac{2x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^2 - 4} < 2 $ и найдите сумму целых решений, принадлежащих отрезку [-4; 0].

1)

Сначала решим неравенство $\frac{2x}{x-1} + \frac{3x-1}{x^2-4} < 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x-1} + \frac{3x-1}{x^2-4} - 2 < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x^2-4) = (x-1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{2x(x^2-4) + (3x-1)(x-1) - 2(x-1)(x^2-4)}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(2x^3 - 8x) + (3x^2 - 3x - x + 1) - 2(x^3 - 4x - x^2 + 4) < 0$

$2x^3 - 8x + 3x^2 - 4x + 1 - 2x^3 + 2x^2 + 8x - 8 < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$5x^2 - 4x - 7$

Неравенство принимает вид:

$\frac{5x^2 - 4x - 7}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 2$.

Найдем корни числителя, решив уравнение $5x^2 - 4x - 7 = 0$:

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(5)(-7) = 16 + 140 = 156$.

Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{156}}{10} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5}$.

Примерные значения корней: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5} \approx \frac{2 - 6.24}{5} \approx -0.85$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5} \approx \frac{2 + 6.24}{5} \approx 1.65$.

Расположим все корни на числовой оси: $-2$, $\frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, $1$, $\frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус":

$x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1) \cup (\frac{2 + \sqrt{39}}{5}; 2)$

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$.

1. Пересечение $(-\infty; -2)$ с $[-3; 1]$ дает $[-3; -2)$. Целое решение: $x = -3$.

2. Пересечение $(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1)$ с $[-3; 1]$ дает $(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}; 1)$. Так как $-1 < \frac{2 - \sqrt{39}}{5} < 0$, целое решение: $x = 0$.

3. Пересечение $(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}; 2)$ с $[-3; 1]$ не содержит целых чисел.

Целые решения на отрезке $[-3; 1]$: $\{-3, 0\}$.

Найдем их сумму: $-3 + 0 = -3$.

Ответ: -3.

2)

Сначала решим неравенство $\frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x^2-4} < 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x^2-4} - 2 < 0$

ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{2x(x^2-4) + (x-1)(x-1) - 2(x-1)(x^2-4)}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(2x^3 - 8x) + (x^2 - 2x + 1) - 2(x^3 - x^2 - 4x + 4) < 0$

$2x^3 - 8x + x^2 - 2x + 1 - 2x^3 + 2x^2 + 8x - 8 < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$3x^2 - 2x - 7$

Неравенство принимает вид:

$\frac{3x^2 - 2x - 7}{(x-1)(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 2$.

Найдем корни числителя, решив уравнение $3x^2 - 2x - 7 = 0$:

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(3)(-7) = 4 + 84 = 88$.

Корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Примерные значения корней: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{22}}{3} \approx \frac{1 - 4.69}{3} \approx -1.23$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \approx \frac{1 + 4.69}{3} \approx 1.9$.

Расположим все корни на числовой оси: $-2$, $\frac{1 - \sqrt{22}}{3}$, $1$, $\frac{1 + \sqrt{22}}{3}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус":

$x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; 2)$

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-4; 0]$.

1. Пересечение $(-\infty; -2)$ с $[-4; 0]$ дает $[-4; -2)$. Целые решения: $x = -4, x = -3$.

2. Пересечение $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1)$ с $[-4; 0]$ дает $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 0]$. Так как $-2 < \frac{1 - \sqrt{22}}{3} < -1$, целые решения: $x = -1, x = 0$.

3. Пересечение $(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; 2)$ с $[-4; 0]$ не содержит целых чисел.

Целые решения на отрезке $[-4; 0]$: $\{-4, -3, -1, 0\}$.

Найдем их сумму: $-4 + (-3) + (-1) + 0 = -8$.

Ответ: -8.

73. В координатной плоскости покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $\begin{cases} y < x^2; \\ x - 5 &\ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 &\le 4; \\ x - y &< 2. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y < x^2 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} $$ Решим эту систему графически. Для этого построим в координатной плоскости $Oxy$ множества точек, удовлетворяющих каждому неравенству, и найдем их пересечение.

Первое неравенство, $y < x^2$, задает множество точек, лежащих строго ниже параболы $y = x^2$. Граница этой области, сама парабола $y = x^2$, не входит в решение, поэтому мы изобразим ее пунктирной линией. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх.

Второе неравенство, $x - 5 \ge 0$, можно переписать в виде $x \ge 5$. Оно задает множество точек, расположенных на прямой $x=5$ и правее нее. Эта область представляет собой правую замкнутую полуплоскость. Граница, вертикальная прямая $x=5$, является частью решения, поэтому мы изобразим ее сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно и ниже параболы $y = x^2$, и правее (или на) прямой $x=5$. Найдем точку пересечения границ: $x=5$, $y=x^2 \Rightarrow y=5^2=25$. Точка пересечения — $(5, 25)$. Искомое множество точек на графике показано штриховкой.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная слева сплошной прямой $x=5$ (включая саму прямую) и сверху пунктирной параболой $y=x^2$ (не включая саму параболу).

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ x - y < 2 \end{cases} $$ Решим эту систему графически, найдя пересечение множеств точек, удовлетворяющих каждому из неравенств.

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает множество точек, находящихся внутри и на границе круга с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница, окружность $x^2 + y^2 = 4$, включается в решение, поэтому мы изобразим ее сплошной линией.

Второе неравенство, $x - y < 2$, можно преобразовать к виду $y > x - 2$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную строго выше прямой $y = x - 2$. Чтобы определить, какую полуплоскость выбрать, можно взять пробную точку, например, (0,0). Подставив ее в неравенство, получим $0 - 0 < 2$, что является верным утверждением ($0 < 2$). Следовательно, нам нужна полуплоскость, содержащая начало координат. Граница, прямая $y=x-2$, не входит в решение, поэтому мы изобразим ее пунктирной линией. Эта прямая проходит через точки (0, -2) и (2, 0).

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 2, которая лежит выше прямой $y=x-2$. Границами искомой области являются дуга окружности (сплошная линия) и хорда, лежащая на прямой $y=x-2$ (пунктирная линия).

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга $x^2+y^2 \le 4$, отсекаемый прямой $y=x-2$. Граница, принадлежащая окружности, включается в множество (сплошная линия), а граница, принадлежащая прямой, не включается (пунктирная линия).

74. Решите неравенство:

1) $\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x + 2)^2}{(x - 5)(x^2 - 9)} \le 0;$

2) $\frac{(x^2 - 2x - 15) \cdot (x + 2)^2}{(x - 4)(x^2 - 25)} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x + 2)^2}{(x - 5)(x^2 - 9)} \le 0$.

Сначала разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

Для числителя: найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. Весь числитель можно записать как $(x - 3)(x + 2) \cdot (x + 2)^2 = (x - 3)(x + 2)^3$.

Для знаменателя: используем формулу разности квадратов $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Весь знаменатель равен $(x - 5)(x - 3)(x + 3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 3)(x + 2)^3}{(x - 5)(x - 3)(x + 3)} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x \neq 5$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Для решения используем метод интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя. Это точки: $5, 3, -2, -3$.

Нули знаменателя ($x=5, x=3, x=-3$) всегда являются выколотыми точками. Нуль числителя $x=-2$ является решением, так как неравенство нестрогое ($\le 0$) и в этой точке знаменатель не обращается в ноль, поэтому точка будет закрашенной.

Заметим, что множитель $(x-3)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Это означает, что при переходе через точку $x=3$ знак выражения не меняется (так как общая степень этого множителя $1-1=0$ — четная).

Определим знак выражения $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)^3}{(x - 5)(x - 3)(x + 3)}$ на крайнем правом интервале $(5, +\infty)$. Возьмем $x=6$: $f(6) = \frac{(+)(+)^3}{(+)(+)(+)} > 0$.

Двигаясь по числовой оси справа налево:

• При переходе через $x=5$ (корень нечетной кратности 1) знак меняется на «−».
• При переходе через $x=3$ (корень четной кратности 0) знак не меняется и остается «−».
• При переходе через $x=-2$ (корень нечетной кратности 3) знак меняется на «+».
• При переходе через $x=-3$ (корень нечетной кратности 1) знак меняется на «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и закрашенные точки. Решением является объединение $(-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup (3, 5)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 2x - 15) \cdot (x + 2)^2}{(x - 4)(x^2 - 25)} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 - 2x - 15 = 0$ имеет корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$. Весь числитель: $(x - 5)(x + 3)(x + 2)^2$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Весь знаменатель: $(x - 4)(x - 5)(x + 5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 5)(x + 3)(x + 2)^2}{(x - 4)(x - 5)(x + 5)} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq 4$, $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $-5, -3, -2, 4, 5$.

Точки $x=4, x=5, x=-5$ (нули знаменателя) — выколотые. Точки $x=-3, x=-2$ (нули числителя) — закрашенные.

Определим кратность корней, чтобы понять, где знак меняется:

• $x=5$: кратность $1-1=0$ (четная), знак не меняется.
• $x=4$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.
• $x=-2$: кратность 2 (четная), знак не меняется.
• $x=-3$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.
• $x=-5$: кратность 1 (нечетная), знак меняется.

Определим знак на крайнем правом интервале $(5, +\infty)$. При $x=6$ выражение $\frac{(+)(+)(+)^2}{(+)(+)(+)} > 0$.

Двигаясь справа налево по оси:

• Интервал $(4, 5)$: знак не меняется, «+».
• Интервал $(-2, 4)$: знак меняется, «−».
• Интервал $(-3, -2)$: знак не меняется, «−».
• Интервал $(-5, -3)$: знак меняется, «+».
• Интервал $(-\infty, -5)$: знак меняется, «−».

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и закрашенные точки. Объединяя интервалы $(-\infty, -5)$, $(-3, -2)$, $(-2, 4)$ и точки $x=-3, x=-2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [-3, 4)$.

75. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 4,5;$

2) $f(x) = x^2 + 0,5;$

3) $f(x) = -x^2 - 0,5;$

4) $f(x) = -x^2 + 1,5.$

1) $f(x) = x^2 - 4,5$;

График функции $f(x) = x^2 - 4,5$ — это парабола. Её можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 4,5 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Вершина параболы находится в точке $(0; -4,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = x^2 - 4,5$ построен.

2) $f(x) = x^2 + 0,5$;

График функции $f(x) = x^2 + 0,5$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 0,5 единицы вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 0,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = x^2 + 0,5$ построен.

3) $f(x) = -x^2 - 0,5$;

График функции $f(x) = -x^2 - 0,5$ — это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ (ветви направлены вниз) сдвигом на 0,5 единицы вниз по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0; -0,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = -x^2 - 0,5$ построен.

4) $f(x) = -x^2 + 1,5$.

График функции $f(x) = -x^2 + 1,5$ — это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ (ветви направлены вниз) сдвигом на 1,5 единицы вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0; 1,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = -x^2 + 1,5$ построен.

76. Найдите координаты точек пересечения с осью Ox и осью Oy графика функции:

1) $y = \frac{1}{2} x^2 - 3;$

2) $y = -0.6x + 3x^2;$

3) $y = -1 \frac{2}{3} x + 3x^2;$

4) $y = 7.5x - 3x^2.$

1) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$
Для нахождения точки пересечения графика с осью Oy (осью ординат), необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3$
Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -3)$.
Для нахождения точек пересечения с осью Ox (осью абсцисс), необходимо подставить $y=0$ в уравнение функции и решить его относительно $x$:
$0 = \frac{1}{2}x^2 - 3$
$\frac{1}{2}x^2 = 3$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Следовательно, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-\sqrt{6}, 0)$ и $(\sqrt{6}, 0)$.
Ответ: с осью Ox: $(-\sqrt{6}, 0)$, $(\sqrt{6}, 0)$; с осью Oy: $(0, -3)$.

2) $y = -0,6x + 3x^2$
Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение:
$y = -0,6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. Эта точка является началом координат.
Для нахождения точек пересечения с осью Ox, подставим $y=0$:
$0 = -0,6x + 3x^2$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-0,6 + 3x) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $-0,6 + 3x_2 = 0$
$3x_2 = 0,6$
$x_2 = 0,2$
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(0,2; 0)$.
Ответ: с осью Ox: $(0, 0)$, $(0,2; 0)$; с осью Oy: $(0, 0)$.

3) $y = -1\frac{2}{3}x + 3x^2$
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Уравнение принимает вид: $y = -\frac{5}{3}x + 3x^2$.
Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение:
$y = -\frac{5}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
Для нахождения точек пересечения с осью Ox, подставим $y=0$:
$0 = -\frac{5}{3}x + 3x^2$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(-\frac{5}{3} + 3x) = 0$
Получаем два решения:
$x_1 = 0$ или $-\frac{5}{3} + 3x_2 = 0$
$3x_2 = \frac{5}{3}$
$x_2 = \frac{5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}$
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(\frac{5}{9}, 0)$.
Ответ: с осью Ox: $(0, 0)$, $(\frac{5}{9}, 0)$; с осью Oy: $(0, 0)$.

4) $y = 7,5x - 3x^2$
Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение:
$y = 7,5 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 0$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
Для нахождения точек пересечения с осью Ox, подставим $y=0$:
$0 = 7,5x - 3x^2$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(7,5 - 3x) = 0$
Получаем два решения:
$x_1 = 0$ или $7,5 - 3x_2 = 0$
$3x_2 = 7,5$
$x_2 = \frac{7,5}{3} = 2,5$
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2,5; 0)$.
Ответ: с осью Ox: $(0, 0)$, $(2,5; 0)$; с осью Oy: $(0, 0)$.