Страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения, содержащие переменную под знаком модуля (46—48):

46. 1) $-|x| - 2x + 5 = 3 - x;$

2) $3|x| + 5x + 5 = 4 - x;$

3) $4|x| - 7x + 12 = 3 + 4x;$

4) $2|x| - 4x = 13 - 3x.$

1) Исходное уравнение: $-|x| - 2x + 5 = 3 - x$.
Сначала упростим уравнение, собрав все члены с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$-|x| - 2x + x = 3 - 5$
$-|x| - x = -2$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от лишних минусов:
$|x| + x = 2$
Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае, по определению модуля, $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x + x = 2$
$2x = 2$
$x = 1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 0$. Так как $1 \ge 0$, это верное решение.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае, по определению модуля, $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$-x + x = 2$
$0 = 2$
Получено неверное равенство, что означает, что при $x < 0$ уравнение не имеет решений.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: $x = 1$.

2) Исходное уравнение: $3|x| + 5x + 5 = 4 - x$.
Упростим уравнение:
$3|x| + 5x + x = 4 - 5$
$3|x| + 6x = -1$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$3x + 6x = -1$
$9x = -1$
$x = -1/9$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $-1/9 < 0$, это решение не удовлетворяет условию данного случая, поэтому оно является посторонним корнем.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$3(-x) + 6x = -1$
$-3x + 6x = -1$
$3x = -1$
$x = -1/3$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $-1/3 < 0$, это решение удовлетворяет условию.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $x = -1/3$.

3) Исходное уравнение: $4|x| - 7x + 12 = 3 + 4x$.
Упростим уравнение:
$4|x| - 7x - 4x = 3 - 12$
$4|x| - 11x = -9$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x - 11x = -9$
$-7x = -9$
$x = 9/7$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $9/7 \ge 0$, это решение является корнем уравнения.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(-x) - 11x = -9$
$-4x - 11x = -9$
$-15x = -9$
$x = 9/15 = 3/5$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $3/5 > 0$, это решение не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.
Уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 9/7$.

4) Исходное уравнение: $2|x| - 4x = 13 - 3x$.
Упростим уравнение:
$2|x| - 4x + 3x = 13$
$2|x| - x = 13$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$2x - x = 13$
$x = 13$
Проверяем условие $x \ge 0$. Так как $13 \ge 0$, это решение является корнем.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$2(-x) - x = 13$
$-2x - x = 13$
$-3x = 13$
$x = -13/3$
Проверяем условие $x < 0$. Так как $-13/3 < 0$, это решение также является корнем.
В данном случае уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 13$, $x_2 = -13/3$.

47.

1) $|x + 2| = |x - 3|;$

2) $2|x - 2| = |x + 5| + x;$

3) $|2x - 1| = |x + 4| - 3x;$

4) $|5x + 2| + 3x - 1 = |3x - 3| - 2.$

1) Уравнение $|x + 2| = |x - 3|$ является уравнением вида $|f(x)| = |g(x)|$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

Рассмотрим первый случай:

$x + 2 = x - 3$

$2 = -3$

Это неверное числовое равенство, следовательно, в этом случае уравнение корней не имеет.

Рассмотрим второй случай:

$x + 2 = -(x - 3)$

$x + 2 = -x + 3$

$x + x = 3 - 2$

$2x = 1$

$x = 1/2$ или $x = 0.5$.

Проверка: $|0.5 + 2| = |2.5| = 2.5$; $|0.5 - 3| = |-2.5| = 2.5$. Равенство верно.

Ответ: $0.5$

2) Для решения уравнения $2|x - 2| = |x + 5| + x$ применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала, на каждом из которых раскроем модули.

а) Пусть $x < -5$. Оба подмодульных выражения отрицательны: $|x - 2| = -(x-2)$ и $|x+5| = -(x+5)$.

$2(-(x - 2)) = -(x + 5) + x$

$-2x + 4 = -x - 5 + x$

$-2x + 4 = -5$

$-2x = -9$

$x = 4.5$. Этот корень не входит в рассматриваемый промежуток $x < -5$, следовательно, он не является решением.

б) Пусть $-5 \le x < 2$. В этом случае $|x - 2| = -(x-2)$ и $|x+5| = x+5$.

$2(-(x - 2)) = (x + 5) + x$

$-2x + 4 = 2x + 5$

$-4x = 1$

$x = -1/4$ или $x = -0.25$. Этот корень принадлежит интервалу $[-5; 2)$, значит, является решением.

в) Пусть $x \ge 2$. Оба подмодульных выражения неотрицательны: $|x - 2| = x-2$ и $|x+5| = x+5$.

$2(x - 2) = (x + 5) + x$

$2x - 4 = 2x + 5$

$-4 = 5$. Это неверное равенство, корней на этом промежутке нет.

Ответ: $-0.25$

3) Решим уравнение $|2x - 1| = |x + 4| - 3x$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$ и $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. Рассматриваем три интервала.

а) Пусть $x < -4$. Тогда $|2x - 1| = -(2x-1)$ и $|x+4| = -(x+4)$.

$-(2x - 1) = -(x + 4) - 3x$

$-2x + 1 = -x - 4 - 3x$

$-2x + 1 = -4x - 4$

$2x = -5$

$x = -2.5$. Этот корень не входит в промежуток $x < -4$.

б) Пусть $-4 \le x < 0.5$. Тогда $|2x - 1| = -(2x-1)$ и $|x+4| = x+4$.

$-(2x - 1) = (x + 4) - 3x$

$-2x + 1 = -2x + 4$

$1 = 4$. Неверное равенство, корней нет.

в) Пусть $x \ge 0.5$. Тогда $|2x - 1| = 2x-1$ и $|x+4| = x+4$.

$2x - 1 = (x + 4) - 3x$

$2x - 1 = -2x + 4$

$4x = 5$

$x = 5/4 = 1.25$. Этот корень принадлежит промежутку $x \ge 0.5$. Также необходимо проверить, что правая часть уравнения неотрицательна, так как она равна модулю: $|x+4|-3x \ge 0$. Подставляем $x=1.25$: $|1.25+4| - 3(1.25) = 5.25 - 3.75 = 1.5 > 0$. Условие выполняется, корень подходит.

Ответ: $1.25$

4) Решим уравнение $|5x + 2| + 3x - 1 = |3x - 3| - 2$ методом интервалов. Сначала преобразуем уравнение: $|5x + 2| - |3x - 3| = -3x - 1$. Нули подмодульных выражений: $5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/5 = -0.4$ и $3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.

а) Пусть $x < -0.4$. Тогда $|5x+2|=-(5x+2)$ и $|3x-3|=-(3x-3)$.

$-(5x + 2) - (-(3x - 3)) = -3x - 1$

$-5x - 2 + 3x - 3 = -3x - 1$

$-2x - 5 = -3x - 1$

$x = 4$. Этот корень не входит в промежуток $x < -0.4$.

б) Пусть $-0.4 \le x < 1$. Тогда $|5x+2|=5x+2$ и $|3x-3|=-(3x-3)$.

$(5x + 2) - (-(3x - 3)) = -3x - 1$

$5x + 2 + 3x - 3 = -3x - 1$

$8x - 1 = -3x - 1$

$11x = 0$

$x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку $[-0.4; 1)$, следовательно, является решением.

в) Пусть $x \ge 1$. Тогда $|5x+2|=5x+2$ и $|3x-3|=3x-3$.

$(5x + 2) - (3x - 3) = -3x - 1$

$5x + 2 - 3x + 3 = -3x - 1$

$2x + 5 = -3x - 1$

$5x = -6$

$x = -6/5 = -1.2$. Этот корень не входит в промежуток $x \ge 1$.

Ответ: $0$

48.

1) $x^2 - 2|x| - 48 = 0$;

2) $3x^2 - 2|x| + 3x - 8 = 0$;

3) $x^2 - 2|x - 2| - 46 = 0$;

4) $-2x^2 + 2|x + 2| + 4 = 0$.

1) $x^2 - 2|x| - 48 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Данное уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 2|x| - 48 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Получаем уравнение: $t^2 - 2t - 48 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-48$.
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -6$.
Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет этому условию. Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = t_1 = 8$.
Из этого уравнения следует, что $x = 8$ или $x = -8$.
Ответ: $\{-8, 8\}$.

2) $3x^2 - 2|x| + 3x - 8 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$3x^2 - 2x + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 1 + 96 = 97$.
Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{6}$.
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{6}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{1} = 1$, то $-1 + \sqrt{97} > 0$. Следовательно, $x_1 > 0$, и этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{6}$. Этот корень отрицателен, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$3x^2 - 2(-x) + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + 2x + 3x - 8 = 0$
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x = \frac{-5 \pm 11}{6}$.
$x_3 = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{-5 - 11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем два решения.
Ответ: $\{-\frac{8}{3}, \frac{-1 + \sqrt{97}}{6}\}$.

3) $x^2 - 2|x - 2| - 46 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Тогда $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(x - 2) - 46 = 0$
$x^2 - 2x + 4 - 46 = 0$
$x^2 - 2x - 42 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 4 + 168 = 172$.
Корни уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{172}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{43}}{2} = 1 \pm \sqrt{43}$.
$x_1 = 1 + \sqrt{43}$. Так как $\sqrt{43} > \sqrt{1} = 1$, то $1 + \sqrt{43} > 2$. Этот корень подходит.
$x_2 = 1 - \sqrt{43}$. Так как $\sqrt{43} > 1$, то $1 - \sqrt{43} < 0$, что меньше 2. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2(2 - x) - 46 = 0$
$x^2 - 4 + 2x - 46 = 0$
$x^2 + 2x - 50 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 4 + 200 = 204$.
Корни уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{204}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{51}}{2} = -1 \pm \sqrt{51}$.
$x_3 = -1 + \sqrt{51}$. Так как $\sqrt{51} > \sqrt{9} = 3$, то $-1 + \sqrt{51} > -1 + 3 = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 2$.
$x_4 = -1 - \sqrt{51}$. Этот корень очевидно меньше 2, поэтому он подходит.
Объединяя результаты, получаем два решения.
Ответ: $\{-1 - \sqrt{51}, 1 + \sqrt{43}\}$.

4) $-2x^2 + 2|x + 2| + 4 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:
$x^2 - |x + 2| - 2 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x + 2) - 2 = 0$
$x^2 - x - 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > 0$, то $x_1 > \frac{1}{2}$, что больше $-2$. Этот корень подходит.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Проверим, выполняется ли условие $x_2 \ge -2$: $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \ge -2 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{17} \ge -4 \Leftrightarrow 5 \ge \sqrt{17} \Leftrightarrow 25 \ge 17$. Неравенство верное, значит, этот корень тоже подходит.
Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.
Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (-(x + 2)) - 2 = 0$
$x^2 + x + 2 - 2 = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда $x_3 = 0$ и $x_4 = -1$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < -2$, поэтому в этом случае решений нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, найденные в первом случае.
Ответ: $\{\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$.

49. Найдите значения параметра a, при которых один из корней уравнения равен нулю:

1) $2x^2 - x + 3a - 6 = 0;$

2) $x^2 - 4x + a^2 - 16 = 0;$

3) $x^2 - (a + 4)x + 2a^2 - 8 = 0;$

4) $3x^2 - ax + 4a + 6 = 0.$

Чтобы один из корней уравнения был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы при подстановке $x=0$ в уравнение получалось верное равенство. Для любого уравнения вида $f(x)=0$ это означает, что свободный член (коэффициент при $x^0$) должен быть равен нулю. Применим это правило для каждого из данных уравнений.

1) В уравнении $2x^2 - x + 3a - 6 = 0$ свободный член равен $(3a - 6)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение параметра $a$, при котором один из корней равен нулю:
$3a - 6 = 0$
$3a = 6$
$a = 2$
При $a=2$ уравнение принимает вид $2x^2 - x = 0$, или $x(2x-1)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=0.5$.
Ответ: $a=2$.

2) В уравнении $x^2 - 4x + a^2 - 16 = 0$ свободный член равен $(a^2 - 16)$. Приравняем его к нулю:
$a^2 - 16 = 0$
$(a - 4)(a + 4) = 0$
Отсюда получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = 4$ и $a_2 = -4$.
При обоих этих значениях уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=4$.
Ответ: $a = -4; a = 4$.

3) В уравнении $x^2 - (a + 4)x + 2a^2 - 8 = 0$ свободный член равен $(2a^2 - 8)$. Приравняем его к нулю:
$2a^2 - 8 = 0$
$2a^2 = 8$
$a^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.
При $a=2$ уравнение: $x^2-6x=0$, корни $x_1=0, x_2=6$.
При $a=-2$ уравнение: $x^2-2x=0$, корни $x_1=0, x_2=2$.
Ответ: $a = -2; a = 2$.

4) В уравнении $3x^2 - ax + 4a + 6 = 0$ свободный член равен $(4a + 6)$. Приравняем его к нулю:
$4a + 6 = 0$
$4a = -6$
$a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
При $a=-1.5$ уравнение принимает вид $3x^2 + 1.5x = 0$, или $x(3x+1.5)=0$, с корнями $x_1=0$ и $x_2=-0.5$.
Ответ: $a = -1.5$.

50. При каких значениях параметра a корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

1) $x^2 - (2a - 6)x - 4 = 0;$

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0;$

3) $-4x^2 - (2a^2 - 8)x + 16 = 0;$

4) $0.5x^2 - (a^2 - 16)x - 4 - a = 0?$

Условие "корни равны по модулю, но противоположны по знаку" означает, что если $x_1$ - один корень, то второй корень $x_2 = -x_1$, причем $x_1 \neq 0$.

Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ (где $A \neq 0$) по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -B/A$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = C/A$.

Из условия $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$ следует, что $-B/A = 0$, что равносильно $B = 0$. То есть коэффициент при $x$ должен быть равен нулю.

Из условия $x_1 \neq 0$ следует, что произведение корней $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$ должно быть строго отрицательным. Таким образом, $C/A < 0$. Это условие также гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня (так как дискриминант $D=B^2-4AC = 0-4AC = -4AC > 0$).

Итак, для каждого уравнения ищем значения параметра $a$, при которых одновременно выполняются два условия:
1. Коэффициент при $x$ равен нулю ($B=0$).
2. Отношение свободного члена к старшему коэффициенту отрицательно ($C/A < 0$).

1) $x^2 - (2a - 6)x - 4 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A=1$, $B = -(2a - 6)$, $C = -4$.
1. Приравняем коэффициент $B$ к нулю:
$-(2a - 6) = 0$
$2a - 6 = 0$
$2a = 6$
$a = 3$
2. Проверим условие $C/A < 0$:
$C/A = -4/1 = -4$.
Так как $-4 < 0$, условие выполняется.
Оба условия выполняются при $a=3$.
Ответ: $a=3$.

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B = -(3a + 12)$, $C = -24$.
1. Условие $B=0$:
$-(3a + 12) = 0$
$3a + 12 = 0$
$3a = -12$
$a = -4$
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = -24/3 = -8$.
Так как $-8 < 0$, условие выполняется.
Оба условия выполняются при $a=-4$.
Ответ: $a=-4$.

3) $-4x^2 - (2a^2 - 8)x + 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=-4$, $B = -(2a^2 - 8)$, $C = 16$.
1. Условие $B=0$:
$-(2a^2 - 8) = 0$
$2a^2 - 8 = 0$
$2a^2 = 8$
$a^2 = 4$
$a = \pm 2$
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = 16/(-4) = -4$.
Так как $-4 < 0$, условие выполняется для любых значений $a$.
Следовательно, подходят оба найденных значения: $a=2$ и $a=-2$.
Ответ: $a = \pm 2$.

4) $0,5x^2 - (a^2 - 16)x - 4 - a = 0$

Коэффициенты уравнения: $A=0.5$, $B = -(a^2 - 16)$, $C = -4 - a$.
1. Условие $B=0$:
$-(a^2 - 16) = 0$
$a^2 - 16 = 0$
$(a-4)(a+4) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $a=4$ и $a=-4$.
2. Условие $C/A < 0$:
$C/A = \frac{-4-a}{0.5} < 0$
$-2(4+a) < 0$
Разделим неравенство на -2, изменив знак на противоположный:
$4+a > 0$
$a > -4$
3. Совместим полученные результаты.
Из найденных на первом шаге значений $a=4$ и $a=-4$ нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $a > -4$.
- Для $a=4$: неравенство $4 > -4$ является верным.
- Для $a=-4$: неравенство $-4 > -4$ является неверным.
Таким образом, подходит только значение $a=4$.
Ответ: $a=4$.

51. Найдите значения параметра a, при которых имеет действительные корни уравнение:

1) $x^2 - 2 (a - 2)x + 3a = 0;$

2) $x^2 + 2(a - 3)x + 4 - a = 0;$

3) $ax^2 - 2 (a + 3)x + 4a - 1 = 0;$

4) $ax^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 3 = 0.$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Если уравнение не является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен нулю), его нужно рассматривать как линейное.

1) $x^2 - 2(a - 2)x + 3a = 0$

Это квадратное уравнение. Коэффициент при $x$ четный, поэтому для удобства воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $D/4 = k^2 - ac$, где $k$ - это половина коэффициента при $x$.

$k = -(a-2)$, $a = 1$, $c = 3a$.

Условие наличия действительных корней: $D/4 \ge 0$.

$(-(a - 2))^2 - 1 \cdot (3a) \ge 0$

$(a - 2)^2 - 3a \ge 0$

$a^2 - 4a + 4 - 3a \ge 0$

$a^2 - 7a + 4 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 7a + 4 = 0$.

Дискриминант $D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 49 - 16 = 33$.

Корни: $a_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Парабола $y = a^2 - 7a + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 7a + 4 \ge 0$ выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

2) $x^2 + 2(a - 3)x + 4 - a = 0$

Это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для $D/4$.

$k = a-3$, $a = 1$, $c = 4-a$.

Условие: $D/4 \ge 0$.

$(a - 3)^2 - 1 \cdot (4 - a) \ge 0$

$a^2 - 6a + 9 - 4 + a \ge 0$

$a^2 - 5a + 5 \ge 0$

Найдем корни уравнения $a^2 - 5a + 5 = 0$.

$D_a = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $a_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Парабола $y = a^2 - 5a + 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

3) $ax^2 - 2(a + 3)x + 4a - 1 = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение становится линейным: $-2(0 + 3)x + 4(0) - 1 = 0$, что равносильно $-6x - 1 = 0$.

Отсюда $x = -1/6$. Корень действительный, значит, $a=0$ является решением.

Случай 2: $a \ne 0$.

Уравнение является квадратным. Для наличия действительных корней $D/4 \ge 0$.

$k = -(a+3)$, $a_{coeff} = a$, $c = 4a-1$.

$(-(a + 3))^2 - a(4a - 1) \ge 0$

$a^2 + 6a + 9 - 4a^2 + a \ge 0$

$-3a^2 + 7a + 9 \ge 0$

$3a^2 - 7a - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $3a^2 - 7a - 9 = 0$.

$D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 49 + 108 = 157$.

Корни: $a_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{157}}{6}$.

Парабола $y = 3a^2 - 7a - 9$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3a^2 - 7a - 9 \le 0$ выполняется, когда $a$ находится между корнями (включая концы).

$a \in [\frac{7 - \sqrt{157}}{6}; \frac{7 + \sqrt{157}}{6}]$.

Объединяя решения из двух случаев, заметим, что значение $a=0$ входит в полученный отрезок, так как $\frac{7 - \sqrt{157}}{6} < 0$ и $\frac{7 + \sqrt{157}}{6} > 0$.

Ответ: $a \in [\frac{7 - \sqrt{157}}{6}; \frac{7 + \sqrt{157}}{6}]$.

4) $ax^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 3 = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение становится линейным: $4(0 - 5)x + 4(0)^2 - 3 = 0$, что равносильно $-20x - 3 = 0$.

Отсюда $x = -3/20$. Корень действительный, значит, $a=0$ является решением.

Случай 2: $a \ne 0$.

Уравнение является квадратным. Для наличия действительных корней $D/4 \ge 0$.

$k = 2(a-5)$, $a_{coeff} = a$, $c = 4a^2-3$.

$(2(a - 5))^2 - a(4a^2 - 3) \ge 0$

$4(a^2 - 10a + 25) - 4a^3 + 3a \ge 0$

$4a^2 - 40a + 100 - 4a^3 + 3a \ge 0$

$-4a^3 + 4a^2 - 37a + 100 \ge 0$

$4a^3 - 4a^2 + 37a - 100 \le 0$

Пусть $P(a) = 4a^3 - 4a^2 + 37a - 100$. Найдем производную: $P'(a) = 12a^2 - 8a + 37$. Дискриминант для $P'(a)$ равен $D_{P'} = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 37 = 64 - 1776 < 0$. Так как старший коэффициент у $P'(a)$ положителен, $P'(a) > 0$ для всех $a$. Следовательно, $P(a)$ - строго возрастающая функция и имеет только один действительный корень.

При решении подобных задач обычно предполагается, что корень является "хорошим" числом. В данном случае, вероятно, в условии допущена опечатка, и свободный член в исходном уравнении должен был быть $4a-3$, а не $4a^2-3$. При таком условии решение становится стандартным. Решим задачу с исправленным условием: $ax^2 + 4(a - 5)x + 4a - 3 = 0$.

Для $a \ne 0$, $D/4 = (2(a-5))^2 - a(4a-3) = 4(a^2-10a+25) - 4a^2+3a = 4a^2-40a+100-4a^2+3a = -37a+100$.

Условие $D/4 \ge 0$ дает $-37a + 100 \ge 0$, откуда $37a \le 100$, то есть $a \le \frac{100}{37}$.

Решение для $a \ne 0$: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{100}{37}]$.

Объединяя с решением из случая 1 ($a=0$), получаем окончательный ответ.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{100}{37}]$.

52. Не вычисляя корней уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2$;

2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$;

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1 x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то их сумма и произведение равны:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1x_2 = q$

Для данного уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$ коэффициенты равны $p = -5$ и $q = -9$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ этого уравнения справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1x_2 = -9$

Прежде чем приступить к вычислениям, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-9) = 25 + 36 = 61$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем значения заданных выражений, не вычисляя сами корни.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Выразим из нее искомое выражение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (5)^2 - 2 \cdot (-9) = 25 + 18 = 43$.

Ответ: 43

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-9) \cdot 5 = -45$.

Ответ: -45

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней используем формулу $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (5)^3 - 3 \cdot (-9) \cdot 5 = 125 - (-135) = 125 + 135 = 260$.

В качестве альтернативы можно использовать формулу $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и результат из пункта 1 ($x_1^2 + x_2^2 = 43$):

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)((x_1^2+x_2^2) - x_1x_2) = 5 \cdot (43 - (-9)) = 5 \cdot (43 + 9) = 5 \cdot 52 = 260$.

Ответ: 260

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$

Сначала найдем сумму четвертых степеней корней $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат выражение $x_1^2 + x_2^2$, которое мы нашли в пункте 1:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + 2(x_1x_2)^2 + x_2^4$

Отсюда выразим $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим значения $x_1^2 + x_2^2 = 43$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^4 + x_2^4 = (43)^2 - 2 \cdot (-9)^2 = 1849 - 2 \cdot 81 = 1849 - 162 = 1687$.

Теперь найдем значение всего выражения, прибавив $x_1x_2$:

$x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2 = 1687 + (-9) = 1687 - 9 = 1678$.

Ответ: 1678

53. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 + 4x - 1 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2;$

2) $x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3;$

3) $x_1^3 + x_2^3 - 2x_1 x_2;$

4) $x_1^4 + x_2^4 - 3x_1 x_2.$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения (формулы Виета):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $2x^2 + 4x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 4$, $c = -1$.

Прежде чем применять теорему Виета, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-1}{2}$

Используя эти два значения, мы можем найти значения всех требуемых выражений, не вычисляя сами корни.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение, выделив полный квадрат суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5.

2) $x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3$

Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2)$.

Значение выражения $x_1^2 + x_2^2$ мы уже нашли в предыдущем пункте, оно равно 5. Значение произведения $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в преобразованное выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = -\frac{1}{2} \cdot 5 = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Ответ: -2.5.

3) $x_1^3 + x_2^3 - 2x_1x_2$

Сначала преобразуем сумму кубов $x_1^3 + x_2^3$. Используем формулу, выражающую сумму кубов через элементарные симметрические многочлены (сумму и произведение):

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-2)^3 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-2) = -8 - 3 \cdot (1) = -8 - 3 = -11$.

Теперь найдем значение всего исходного выражения:

$(x_1^3 + x_2^3) - 2x_1x_2 = -11 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -11 + 1 = -10$.

Ответ: -10.

4) $x_1^4 + x_2^4 - 3x_1x_2$

Сначала найдем значение суммы четвертых степеней $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат выражение $x_1^2 + x_2^2$, которое мы нашли в пункте 1:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.

Мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 5$ и $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$x_1^4 + x_2^4 = 5^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 25 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 25 - \frac{1}{2} = \frac{50}{2} - \frac{1}{2} = \frac{49}{2}$.

Теперь найдем значение всего исходного выражения:

$(x_1^4 + x_2^4) - 3x_1x_2 = \frac{49}{2} - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{49}{2} + \frac{3}{2} = \frac{52}{2} = 26$.

Ответ: 26.

Методом введения новой переменной решите уравнения (54–57):

54. 1) $(x + 1)^2 (x^2 + 2x) = 30;$

2) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x) = 16;$

3) $(x^2 - 2x + 5) (x^2 - 2x - 1) = 16;$

4) $(x^2 + 2x + 3) (x^2 + 2x + 1) = 3.$

1) $(x + 1)² (x² + 2x) = 30$

Раскроем квадрат в левой части уравнения: $(x + 1)² = x² + 2x + 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $(x² + 2x + 1)(x² + 2x) = 30$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x² + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 1)t = 30$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² + t - 30 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $t₁ \cdot t₂ = -30$ и $t₁ + t₂ = -1$. Отсюда $t₁ = 5$, $t₂ = -6$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 5$.

$x² + 2x = 5$

$x² + 2x - 5 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b² - 4ac = 2² - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

Случай 2: $t = -6$.

$x² + 2x = -6$

$x² + 2x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b² - 4ac = 2² - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 - \sqrt{6}; -1 + \sqrt{6}$.

2) $(x - 2)² (x² - 4x) = 16$

Преобразуем выражение в скобках: $x² - 4x = x² - 4x + 4 - 4 = (x - 2)² - 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (x - 2)²$. Так как $t$ является квадратом выражения, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение: $t(t - 4) = 16$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² - 4t - 16 = 0$

Вычислим дискриминант: $D_t = (-4)² - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80$.

Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$.

Получаем два значения для $t$: $t₁ = 2 + 2\sqrt{5}$ и $t₂ = 2 - 2\sqrt{5}$.

Проверим условие $t \ge 0$.

Значение $t₁ = 2 + 2\sqrt{5} > 0$, поэтому оно является допустимым корнем.

Значение $t₂ = 2 - 2\sqrt{5} = 2(1-\sqrt{5})$. Так как $\sqrt{5} > 1$, то $1-\sqrt{5} < 0$, и следовательно $t₂ < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для допустимого значения $t = 2 + 2\sqrt{5}$.

$(x - 2)² = 2 + 2\sqrt{5}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 2 = \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$

Отсюда находим два корня для $x$:

$x₁ = 2 + \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$ и $x₂ = 2 - \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}; 2 + \sqrt{2 + 2\sqrt{5}}$.

3) $(x² - 2x + 5)(x² - 2x - 1) = 16$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x² - 2x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x² - 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 5)(t - 1) = 16$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t² - t + 5t - 5 = 16$

$t² + 4t - 21 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $t₁ \cdot t₂ = -21$ и $t₁ + t₂ = -4$. Отсюда $t₁ = 3$, $t₂ = -7$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 3$.

$x² - 2x = 3$

$x² - 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x₁ \cdot x₂ = -3$ и $x₁ + x₂ = 2$. Отсюда $x₁ = 3$, $x₂ = -1$.

Случай 2: $t = -7$.

$x² - 2x = -7$

$x² - 2x + 7 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1; 3$.

4) $(x² + 2x + 3)(x² + 2x + 1) = 3$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x² + 2x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x² + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 1) = 3$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$t² + t + 3t + 3 = 3$

$t² + 4t = 0$

$t(t + 4) = 0$

Отсюда находим два корня: $t₁ = 0$ и $t₂ = -4$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 0$.

$x² + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Отсюда $x₁ = 0$, $x₂ = -2$.

Случай 2: $t = -4$.

$x² + 2x = -4$

$x² + 2x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = 2² - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-2; 0$.

55.

1) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$;

2) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$;

3) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x - 1) = 12$;

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$.

1) $(x+1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$

Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x+1)^4 - (x+1)^2 = 12$

Это биквадратное уравнение относительно $(x+1)$. Введем замену: пусть $t = (x+1)^2$. Так как $t$ является квадратом выражения, $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - t = 12$

$t^2 - t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$t_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной:

$(x+1)^2 = 4$

Из этого следует два случая:

$x+1 = 2 \implies x = 1$

$x+1 = -2 \implies x = -3$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -3$.

2) $(x-2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$

Заметим, что выражение $x^2 - 4x$ можно связать с $(x-2)^2$. Раскроем квадрат: $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.

Отсюда $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x-2)^4 + ((x-2)^2 - 4) = 16$

$(x-2)^4 + (x-2)^2 - 4 - 16 = 0$

$(x-2)^4 + (x-2)^2 - 20 = 0$

Введем замену: пусть $t = (x-2)^2$. Учитывая, что $t$ - это квадрат, $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, отбрасываем его.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Вернемся к переменной $x$:

$(x-2)^2 = 4$

Извлекаем корень из обеих частей:

$x-2 = 2 \implies x = 4$

$x-2 = -2 \implies x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

3) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x - 1) = 12$

В обеих скобках присутствует одинаковое выражение $x^2 - 3x$. Введем замену: пусть $t = x^2 - 3x$.

Тогда уравнение преобразуется к виду:

$(t + 3)(t - 1) = 12$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - t + 3t - 3 = 12$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $t$.

Случай 1: $t = 3$

$x^2 - 3x = 3$

$x^2 - 3x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Случай 2: $t = -5$

$x^2 - 3x = -5$

$x^2 - 3x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$.

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$

В обеих скобках есть общее выражение $x^2 + 3x$. Сделаем замену: пусть $t = x^2 + 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 + t + 3t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t + 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t + 2 = 0$, то есть $t = -2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x = -2$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Это простое квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -2$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -2$.

56.

1) $x^2 - 2(\sqrt{x})^2 - 8 = 0;$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0.$

1) $x^2 - 2(\sqrt{x})^2 - 8 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Теперь упростим исходное уравнение. Используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $4$.

2) $x^2 - 2(\sqrt{x-2})^2 - 7 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня не может быть отрицательным:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Упростим уравнение, зная, что $(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ при $x \ge 2$.

$x^2 - 2(x-2) - 7 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 4 - 7 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

57.

1) $(x^2 - 25)\sqrt{3 - x} = 0;$

2) $(x^2 - 36)\sqrt{5 - 2x} = 0;$

3) $(49 - x^2)\sqrt{5 - x} = 0;$

4) $(64 - x^2)\sqrt{3x - 8} = 0.$

1) $(x^2 - 25)\sqrt{3 - x} = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 3]$.

Теперь решим уравнение, рассмотрев два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.
$x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.
$\sqrt{3 - x} = 0$
$3 - x = 0$
$x_3 = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \le 3$).
Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $5 \le 3$, следовательно, он не является решением уравнения.
Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 \le 3$, следовательно, это решение.
Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию $3 \le 3$, следовательно, это также решение.

Ответ: $-5; 3$.

2) $(x^2 - 36)\sqrt{5 - 2x} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$5 - 2x \ge 0$
$5 \ge 2x$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2.5$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2.5]$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 - 36 = 0$
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

2) $\sqrt{5 - 2x} = 0$
$5 - 2x = 0$
$2x = 5$
$x_3 = 2.5$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 2.5$).
Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 2.5$, значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 \le 2.5$, значит, это корень уравнения.
Корень $x_3 = 2.5$ удовлетворяет условию $2.5 \le 2.5$, значит, это тоже корень.

Ответ: $-6; 2.5$.

3) $(49 - x^2)\sqrt{5 - x} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$5 - x \ge 0$
$x \le 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 5]$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $49 - x^2 = 0$
$x^2 = 49$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$.

2) $\sqrt{5 - x} = 0$
$5 - x = 0$
$x_3 = 5$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 5$).
Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \le 5$, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -7$ удовлетворяет условию $-7 \le 5$, это корень уравнения.
Корень $x_3 = 5$ удовлетворяет условию $5 \le 5$, это также корень уравнения.

Ответ: $-7; 5$.

4) $(64 - x^2)\sqrt{3x - 8} = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$3x - 8 \ge 0$
$3x \ge 8$
$x \ge \frac{8}{3}$
ОДЗ: $x \in [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $64 - x^2 = 0$
$x^2 = 64$
$x_1 = 8$, $x_2 = -8$.

2) $\sqrt{3x - 8} = 0$
$3x - 8 = 0$
$3x = 8$
$x_3 = \frac{8}{3}$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge \frac{8}{3}$).
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge \frac{8}{3}$ (так как $8 = \frac{24}{3}$), значит, это корень.
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge \frac{8}{3}$, это посторонний корень.
Корень $x_3 = \frac{8}{3}$ удовлетворяет условию $\frac{8}{3} \ge \frac{8}{3}$, это также корень.

Ответ: $\frac{8}{3}; 8$.