Номер 53, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 + 4x - 1 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2;$

2) $x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3;$

3) $x_1^3 + x_2^3 - 2x_1 x_2;$

4) $x_1^4 + x_2^4 - 3x_1 x_2.$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения (формулы Виета):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $2x^2 + 4x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 4$, $c = -1$.

Прежде чем применять теорему Виета, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-1}{2}$

Используя эти два значения, мы можем найти значения всех требуемых выражений, не вычисляя сами корни.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение, выделив полный квадрат суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5.

2) $x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3$

Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2)$.

Значение выражения $x_1^2 + x_2^2$ мы уже нашли в предыдущем пункте, оно равно 5. Значение произведения $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в преобразованное выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = -\frac{1}{2} \cdot 5 = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Ответ: -2.5.

3) $x_1^3 + x_2^3 - 2x_1x_2$

Сначала преобразуем сумму кубов $x_1^3 + x_2^3$. Используем формулу, выражающую сумму кубов через элементарные симметрические многочлены (сумму и произведение):

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-2)^3 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-2) = -8 - 3 \cdot (1) = -8 - 3 = -11$.

Теперь найдем значение всего исходного выражения:

$(x_1^3 + x_2^3) - 2x_1x_2 = -11 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -11 + 1 = -10$.

Ответ: -10.

4) $x_1^4 + x_2^4 - 3x_1x_2$

Сначала найдем значение суммы четвертых степеней $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат выражение $x_1^2 + x_2^2$, которое мы нашли в пункте 1:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.

Мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 5$ и $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$x_1^4 + x_2^4 = 5^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 25 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 25 - \frac{1}{2} = \frac{50}{2} - \frac{1}{2} = \frac{49}{2}$.

Теперь найдем значение всего исходного выражения:

$(x_1^4 + x_2^4) - 3x_1x_2 = \frac{49}{2} - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{49}{2} + \frac{3}{2} = \frac{52}{2} = 26$.

Ответ: 26.