Номер 47, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.

1) $|x + 2| = |x - 3|;$

2) $2|x - 2| = |x + 5| + x;$

3) $|2x - 1| = |x + 4| - 3x;$

4) $|5x + 2| + 3x - 1 = |3x - 3| - 2.$

1) Уравнение $|x + 2| = |x - 3|$ является уравнением вида $|f(x)| = |g(x)|$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

Рассмотрим первый случай:

$x + 2 = x - 3$

$2 = -3$

Это неверное числовое равенство, следовательно, в этом случае уравнение корней не имеет.

Рассмотрим второй случай:

$x + 2 = -(x - 3)$

$x + 2 = -x + 3$

$x + x = 3 - 2$

$2x = 1$

$x = 1/2$ или $x = 0.5$.

Проверка: $|0.5 + 2| = |2.5| = 2.5$; $|0.5 - 3| = |-2.5| = 2.5$. Равенство верно.

Ответ: $0.5$

2) Для решения уравнения $2|x - 2| = |x + 5| + x$ применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала, на каждом из которых раскроем модули.

а) Пусть $x < -5$. Оба подмодульных выражения отрицательны: $|x - 2| = -(x-2)$ и $|x+5| = -(x+5)$.

$2(-(x - 2)) = -(x + 5) + x$

$-2x + 4 = -x - 5 + x$

$-2x + 4 = -5$

$-2x = -9$

$x = 4.5$. Этот корень не входит в рассматриваемый промежуток $x < -5$, следовательно, он не является решением.

б) Пусть $-5 \le x < 2$. В этом случае $|x - 2| = -(x-2)$ и $|x+5| = x+5$.

$2(-(x - 2)) = (x + 5) + x$

$-2x + 4 = 2x + 5$

$-4x = 1$

$x = -1/4$ или $x = -0.25$. Этот корень принадлежит интервалу $[-5; 2)$, значит, является решением.

в) Пусть $x \ge 2$. Оба подмодульных выражения неотрицательны: $|x - 2| = x-2$ и $|x+5| = x+5$.

$2(x - 2) = (x + 5) + x$

$2x - 4 = 2x + 5$

$-4 = 5$. Это неверное равенство, корней на этом промежутке нет.

Ответ: $-0.25$

3) Решим уравнение $|2x - 1| = |x + 4| - 3x$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$ и $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. Рассматриваем три интервала.

а) Пусть $x < -4$. Тогда $|2x - 1| = -(2x-1)$ и $|x+4| = -(x+4)$.

$-(2x - 1) = -(x + 4) - 3x$

$-2x + 1 = -x - 4 - 3x$

$-2x + 1 = -4x - 4$

$2x = -5$

$x = -2.5$. Этот корень не входит в промежуток $x < -4$.

б) Пусть $-4 \le x < 0.5$. Тогда $|2x - 1| = -(2x-1)$ и $|x+4| = x+4$.

$-(2x - 1) = (x + 4) - 3x$

$-2x + 1 = -2x + 4$

$1 = 4$. Неверное равенство, корней нет.

в) Пусть $x \ge 0.5$. Тогда $|2x - 1| = 2x-1$ и $|x+4| = x+4$.

$2x - 1 = (x + 4) - 3x$

$2x - 1 = -2x + 4$

$4x = 5$

$x = 5/4 = 1.25$. Этот корень принадлежит промежутку $x \ge 0.5$. Также необходимо проверить, что правая часть уравнения неотрицательна, так как она равна модулю: $|x+4|-3x \ge 0$. Подставляем $x=1.25$: $|1.25+4| - 3(1.25) = 5.25 - 3.75 = 1.5 > 0$. Условие выполняется, корень подходит.

Ответ: $1.25$

4) Решим уравнение $|5x + 2| + 3x - 1 = |3x - 3| - 2$ методом интервалов. Сначала преобразуем уравнение: $|5x + 2| - |3x - 3| = -3x - 1$. Нули подмодульных выражений: $5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/5 = -0.4$ и $3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.

а) Пусть $x < -0.4$. Тогда $|5x+2|=-(5x+2)$ и $|3x-3|=-(3x-3)$.

$-(5x + 2) - (-(3x - 3)) = -3x - 1$

$-5x - 2 + 3x - 3 = -3x - 1$

$-2x - 5 = -3x - 1$

$x = 4$. Этот корень не входит в промежуток $x < -0.4$.

б) Пусть $-0.4 \le x < 1$. Тогда $|5x+2|=5x+2$ и $|3x-3|=-(3x-3)$.

$(5x + 2) - (-(3x - 3)) = -3x - 1$

$5x + 2 + 3x - 3 = -3x - 1$

$8x - 1 = -3x - 1$

$11x = 0$

$x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку $[-0.4; 1)$, следовательно, является решением.

в) Пусть $x \ge 1$. Тогда $|5x+2|=5x+2$ и $|3x-3|=3x-3$.

$(5x + 2) - (3x - 3) = -3x - 1$

$5x + 2 - 3x + 3 = -3x - 1$

$2x + 5 = -3x - 1$

$5x = -6$

$x = -6/5 = -1.2$. Этот корень не входит в промежуток $x \ge 1$.

Ответ: $0$