Номер 41, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.

1) $$\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$$

2) $$\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$$

1) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} + \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x + 5}$

Сначала преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$
$25 - x^2 = -(x^2 - 25) = -(x - 5)(x + 5)$
Подставим преобразованные знаменатели в исходное уравнение:
$\frac{1}{(x - 5)^2} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$
$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$
Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 5)^2(x + 5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$1 \cdot (x + 5) - 10 \cdot (x - 5) = 1 \cdot (x - 5)^2$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$x + 5 - 10x + 50 = x^2 - 10x + 25$
$-9x + 55 = x^2 - 10x + 25$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 9x + 25 - 55 = 0$
$x^2 - x - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -30$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$, $x \neq -5$).
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x+5)$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: 6.

2) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x - 6}$

Преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$
$36 - x^2 = -(x^2 - 36) = -(x - 6)(x + 6)$
Подставим преобразованные знаменатели в уравнение:
$\frac{2}{(x + 6)^2} - \frac{12}{-(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$
$\frac{2}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
Общий знаменатель: $(x + 6)^2(x - 6)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2 \cdot (x - 6) + 12 \cdot (x + 6) = 1 \cdot (x + 6)^2$
Раскроем скобки и упростим:
$2x - 12 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36$
$14x + 60 = x^2 + 12x + 36$
Перенесем все члены в правую часть:
$x^2 + 12x - 14x + 36 - 60 = 0$
$x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -24$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -6$, $x \neq 6$).
Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $(x-6)$ обращается в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: -4.