Номер 35, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. За какое время могла бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала одна?

Для решения задачи о совместной работе введем переменную. Пусть время, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая в одиночку, равно $x$ часов.

Согласно условию, первая бригада, работая одна, выполняет работу на 12 часов быстрее, чем вторая. Это означает, что второй бригаде для выполнения той же работы потребуется на 12 часов больше. Таким образом, время работы второй бригады составляет $(x + 12)$ часов.

Примем весь объем работы за 1 (одну целую). Тогда производительность (скорость выполнения работы) каждой бригады — это доля работы, выполняемая за 1 час.

Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{x}$ (часть работы/час).

Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{x+12}$ (часть работы/час).

При совместной работе производительности складываются. Совместная производительность двух бригад равна: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$

В задаче сказано, что вместе две бригады выполняют работу за 8 часов. Это значит, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ (часть работы/час).

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$: $\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест): $8 \cdot (2x+12) = 1 \cdot (x^2+12x)$

$16x + 96 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 12x - 16x - 96 = 0$

$x^2 - 4x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 20}{2}$

Первый корень: $x_1 = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Второй корень: $x_2 = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -8$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая одна, составляет 12 часов.

Ответ: 12 часов.