Страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите дроби (25–26):

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}};$

2) $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}};$

3) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}};$

4) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}};$

5) $\frac{2\sqrt{10} + 5}{4 + \sqrt{10}};$

6) $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$, вынесем общие множители из числителя и знаменателя. Общим множителем для всех подкоренных выражений является 5.
Разложим числитель на множители: $\sqrt{10} - \sqrt{30} = \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{5 \cdot 6} = \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{6})$.
Разложим знаменатель на множители: $\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.
В данном виде дробь является сокращенной.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$ найдем общий множитель в числителе и знаменателе путем разложения слагаемых.
Преобразуем числитель: $2\sqrt{10} - 5 = 2\sqrt{2}\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Преобразуем знаменатель: $4 - \sqrt{10} = 2 \cdot 2 - \sqrt{2}\sqrt{5} = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 - \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Для ее сокращения попробуем вынести в числителе общий множитель $\sqrt{3}$:
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3}$.
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{3}(2 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}(2 + \frac{3\sqrt{6}}{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Сокращаем на общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$, вынесем общие множители из числителя и знаменателя.
В числителе: $\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
Подставим в дробь:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

5) Сократим дробь $\frac{2\sqrt{10} + 5}{4 + \sqrt{10}}$.
Вынесем общие множители, как в пункте 2.
Числитель: $2\sqrt{10} + 5 = 2\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$.
Знаменатель: $4 + \sqrt{10} = 2 \cdot 2 + \sqrt{2}\sqrt{5} = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 + \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$.
Дробь принимает вид:
$\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$.
Преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Для этого представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь:
$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$.
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$:
$\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.

26.

1) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$

2) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}};$

3) $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x};$

4) $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}.$

1) Для упрощения дроби $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ представим выражения в числителе в виде кубов.
Заметим, что $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$. Аналогично, $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$.
Таким образом, выражение можно переписать как $\frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
В числителе находится разность кубов. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$:
$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
В данном виде прямое сокращение невозможно. Выполним деление, чтобы упростить выражение. Сделаем замену $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Получим $\frac{a^3 - b^3}{a+b}$.
Преобразуем числитель: $a^3 - b^3 = a^3 + b^3 - 2b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) - 2b^3$.
Теперь разделим на $(a+b)$:
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2) - 2b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} - \frac{2b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2 - \frac{2b^3}{a+b}$.
Выполним обратную замену:
$x - \sqrt{xy} + y - \frac{2(\sqrt{y})^3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = x - \sqrt{xy} + y - \frac{2y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
Ответ: $x - \sqrt{xy} + y - \frac{2y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.
Представим знаменатель в виде суммы кубов. $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.
Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$.
Представим числитель в виде разности кубов. $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$ и $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.
Числитель равен $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.
Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$2\sqrt{2} - x\sqrt{x} = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$.
Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:
$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$.
Сократим общий множитель $(2 + \sqrt{2x} + x)$ в числителе и знаменателе:
$\sqrt{2} - \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$.
Представим знаменатель в виде суммы кубов. $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$.
Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3$.
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$a\sqrt{a} + 3\sqrt{3} = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)}$.
Сократим общий множитель $(a - \sqrt{3a} + 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (27–28):

$ \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $;

2) $ \frac{x + \sqrt{cx}}{c\sqrt{x}} $;

3) $ \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}} $;

4) $ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} $;

5) $ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $;

6) $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$. Этот метод является основным, когда в числителе нельзя выделить множитель, содержащий иррациональность из знаменателя. Предполагается, что $x > 0$.
$\frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(3 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2} = \frac{3\sqrt{x} + x}{x}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{x} + x}{x}$.

2) В дроби $\frac{x + \sqrt{cx}}{c\sqrt{x}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{x}$. Предполагается, что $x > 0$ и $c \ge 0$.
Числитель: $x + \sqrt{cx} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{c}\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{c})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{c})}{c\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{c}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{c}$.

3) В дроби $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$ преобразуем числитель, представив $3$ как $(\sqrt{3})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{3}$.
Числитель: $2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.

4) В дроби $\frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$ преобразуем числитель, представив $2$ как $(\sqrt{2})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{2}$.
Числитель: $2 - 3\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 3}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 3}{4}$.

5) В дроби $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{ab}$. Предполагается, что $a > 0$ и $b > 0$.
Числитель: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

6) В дроби $\frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{y}$. Предполагается, что $y > 0$ и $b \neq 0$.
Числитель: $y + b\sqrt{y} = (\sqrt{y})^2 + b\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} + b)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{y}(\sqrt{y} + b)}{b\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} + b}{b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{y} + b}{b}$.

28.

1)

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

2)

$\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$

3)

$\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$

1) Чтобы упростить данное выражение, выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю. Этот метод аналогичен делению многочленов для выделения целой части.

Исходное выражение: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Найдем произведение знаменателя $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ на $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = x - \sqrt{xy}$

Теперь представим числитель исходной дроби в виде суммы этого выражения и остатка:

$x - \sqrt{xy} + y = (x - \sqrt{xy}) + y$

Подставим это обратно в дробь и разделим ее на два слагаемых:

$\frac{(x - \sqrt{xy}) + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{x - \sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Заменим в первом слагаемом числитель на его разложение на множители:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Сократим первое слагаемое, получив упрощенное выражение:

$\sqrt{x} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Ответ: $\sqrt{x} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

2) Для упрощения этого выражения воспользуемся тем же методом, что и в первом пункте.

Исходное выражение: $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$

Для удобства запишем числитель в порядке убывания степеней $\sqrt{a}$: $a + 3\sqrt{a} + 9$. Знаменатель: $\sqrt{a} + 3$.

Найдем произведение знаменателя $\sqrt{a} + 3$ на $\sqrt{a}$:

$\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3) = a + 3\sqrt{a}$

Теперь представим числитель в виде суммы этого выражения и остатка:

$a + 3\sqrt{a} + 9 = (a + 3\sqrt{a}) + 9$

Подставим это обратно в дробь и разделим ее на два слагаемых:

$\frac{(a + 3\sqrt{a}) + 9}{\sqrt{a} + 3} = \frac{a + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{9}{\sqrt{a} + 3}$

Вынесем в числителе первого слагаемого общий множитель $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a} + 3} + \frac{9}{\sqrt{a} + 3}$

Сократим первое слагаемое и получим конечный результат:

$\sqrt{a} + \frac{9}{3 + \sqrt{a}}$

Ответ: $\sqrt{a} + \frac{9}{3 + \sqrt{a}}$

3) Упростим третье выражение, используя тот же самый подход.

Исходное выражение: $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$

Найдем произведение знаменателя $a\sqrt{b} + 2$ на $a\sqrt{b}$:

$a\sqrt{b}(a\sqrt{b} + 2) = (a\sqrt{b})^2 + 2a\sqrt{b} = a^2b + 2a\sqrt{b}$

Это выражение совпадает с первыми двумя слагаемыми в числителе. Представим числитель в виде суммы этого выражения и остатка:

$a^2b + 2a\sqrt{b} + 4 = (a^2b + 2a\sqrt{b}) + 4$

Подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{(a^2b + 2a\sqrt{b}) + 4}{a\sqrt{b} + 2} = \frac{a^2b + 2a\sqrt{b}}{a\sqrt{b} + 2} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

В первом слагаемом вынесем в числителе общий множитель $a\sqrt{b}$:

$\frac{a\sqrt{b}(a\sqrt{b} + 2)}{a\sqrt{b} + 2} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

Сократим первое слагаемое и получим финальное выражение:

$a\sqrt{b} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

Ответ: $a\sqrt{b} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

29. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}}$; 2) $\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x}$; 3) $\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}}$; 4) $\frac{\sqrt{an} + 1}{an + \sqrt{an} + 1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}}$, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным к выражению $\sqrt{a} - \sqrt{y}$ является $\sqrt{a} + \sqrt{y}$.

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{y})(\sqrt{a} + \sqrt{y})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{y})}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\sqrt{a} - \sqrt{y})(\sqrt{a} + \sqrt{y}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{y})^2 = a - y$.

В знаменателе раскроем скобки:

$\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{y}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{y} = a + \sqrt{ay}$.

В результате получаем дробь, числитель которой не содержит иррациональности:

$\frac{a - y}{a + \sqrt{ay}}$

Ответ: $\frac{a - y}{a + \sqrt{ay}}$

2) Для дроби $\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x}$ необходимо избавиться от иррациональности в числителе. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $7 + \sqrt{x}$.

$\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x} = \frac{(7 - \sqrt{x})(7 + \sqrt{x})}{(49 - 7\sqrt{x} + x)(7 + \sqrt{x})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(7 - \sqrt{x})(7 + \sqrt{x}) = 7^2 - (\sqrt{x})^2 = 49 - x$.

Знаменатель является произведением $(49 - 7\sqrt{x} + x)(7 + \sqrt{x})$. Можно заметить, что выражение в первой скобке $49 - 7\sqrt{x} + x = 7^2 - 7\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$ является неполным квадратом разности. Это часть формулы суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. При $a=7$ и $b=\sqrt{x}$ получаем:

$(7 + \sqrt{x})(7^2 - 7\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = 7^3 + (\sqrt{x})^3 = 343 + x\sqrt{x}$.

Таким образом, итоговая дробь:

$\frac{49 - x}{343 + x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{49 - x}{343 + x\sqrt{x}}$

3) Дана дробь $\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение, которое равно $x - \sqrt{b}$.

$\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}} = \frac{(x + \sqrt{b})(x - \sqrt{b})}{x\sqrt{b}(x - \sqrt{b})}$

Числитель преобразуем по формуле разности квадратов:

$(x + \sqrt{b})(x - \sqrt{b}) = x^2 - (\sqrt{b})^2 = x^2 - b$.

Знаменатель преобразуем, раскрыв скобки:

$x\sqrt{b}(x - \sqrt{b}) = x\sqrt{b} \cdot x - x\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = x^2\sqrt{b} - xb$.

Получаем дробь с рациональным числителем:

$\frac{x^2 - b}{x^2\sqrt{b} - xb}$

Ответ: $\frac{x^2 - b}{x^2\sqrt{b} - xb}$

4) Исходная дробь $\frac{\sqrt{an+1} + 1}{an + \sqrt{an+1}}$. Для того чтобы освободиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $\sqrt{an+1} - 1$.

$\frac{\sqrt{an+1} + 1}{an + \sqrt{an+1}} = \frac{(\sqrt{an+1} + 1)(\sqrt{an+1} - 1)}{(an + \sqrt{an+1})(\sqrt{an+1} - 1)}$

Преобразуем числитель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{an+1} + 1)(\sqrt{an+1} - 1) = (\sqrt{an+1})^2 - 1^2 = (an+1) - 1 = an$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(an + \sqrt{an+1})(\sqrt{an+1} - 1) = an \cdot \sqrt{an+1} - an \cdot 1 + \sqrt{an+1} \cdot \sqrt{an+1} - 1 \cdot \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - an + (an+1) - \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - an + an + 1 - \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - \sqrt{an+1} + 1 = (an-1)\sqrt{an+1} + 1$.

В результате получаем дробь:

$\frac{an}{(an-1)\sqrt{an+1} + 1}$

Ответ: $\frac{an}{(an-1)\sqrt{an+1} + 1}$

30. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1} $;

2) $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1}$, сгруппируем слагаемые в знаменателе как $(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}$ и умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}$.
$\frac{1}{(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3})}{((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2}$
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для знаменателя, получаем:
$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 3 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 2\sqrt{2}$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
Чтобы убрать оставшуюся иррациональность в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

2) Для дроби $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2}$ сгруппируем слагаемые в знаменателе как $\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2)$ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} + (\sqrt{3} + 2)$.
$\frac{1}{\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2)} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2))(\sqrt{5} + (\sqrt{3} + 2))} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} + 2)^2}$.
Применим формулу разности квадратов к знаменателю:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} + 2)^2 = 5 - ((\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot2 + 2^2) = 5 - (3 + 4\sqrt{3} + 4) = 5 - 7 - 4\sqrt{3} = -2 - 4\sqrt{3}$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{-2 - 4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{-2(1 + 2\sqrt{3})}$.
Теперь умножим числитель и знаменатель на выражение $(1 - 2\sqrt{3})$, сопряженное к $(1 + 2\sqrt{3})$:
$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)(1 - 2\sqrt{3})}{-2(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}$.
Вычислим числитель: $(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)(1 - 2\sqrt{3}) = \sqrt{5}(1-2\sqrt{3}) + \sqrt{3}(1-2\sqrt{3}) + 2(1-2\sqrt{3}) = \sqrt{5} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2 + 2 - 4\sqrt{3} = \sqrt{5} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} - 6 + 2 - 4\sqrt{3} = -4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Вычислим знаменатель: $-2(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3}) = -2(1^2 - (2\sqrt{3})^2) = -2(1 - 4 \cdot 3) = -2(1 - 12) = -2(-11) = 22$.
В результате получаем: $\frac{-4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{22}$.

Ответ: $\frac{-4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{22}$.

31. При каком значении $x$ дробь $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$ принимает наибольшее значение?

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ дробь принимает наибольшее значение, исследуем функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 3) \cup (3, \infty)$.

Далее упростим исходное выражение. Знаменатель $x-3$ можно представить как разность квадратов, поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x - 3 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})$.

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{(\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})}$.

Так как на всей области определения $x \neq 3$, то и $\sqrt{x} \neq \sqrt{3}$, а значит выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{3})$ не равно нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на этот множитель:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$. Дробь, у которой числитель — постоянное положительное число (в данном случае 1), принимает наибольшее значение тогда, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{3}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Поскольку $\sqrt{3}$ — это постоянная величина, функция $g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{3}$ также является монотонно возрастающей.

Возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в начальной точке своей области определения. Наименьшее значение $x$ в области $x \in [0, 3) \cup (3, \infty)$ — это $x=0$.

Следовательно, при $x=0$ знаменатель $\sqrt{x} + \sqrt{3}$ будет минимальным, а значение всей дроби $f(x)$ — максимальным.

Ответ: $x = 0$.

32. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y-1}{4}$;

2) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(a-b)^2}{6}$

1) Для упрощения выражения $(\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x - x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{4}$ начнем с действия в скобках.
Сначала вынесем общий множитель $x$ в знаменателях дробей:
$\frac{1}{x(1 + \sqrt{y})} + \frac{1}{x(1 - \sqrt{y})}$
Приведем дроби к общему знаменателю, которым является $x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})$.
$\frac{1 \cdot (1 - \sqrt{y})}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})} + \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{y})}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})} = \frac{1 - \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y}}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})}$
Упростим числитель, а в знаменателе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\frac{2}{x(1^2 - (\sqrt{y})^2)} = \frac{2}{x(1 - y)}$
Теперь выполним умножение полученной дроби на вторую часть выражения:
$\frac{2}{x(1 - y)} \cdot \frac{y-1}{4}$
Заметим, что $y-1 = -(1-y)$, поэтому можем переписать выражение следующим образом:
$\frac{2}{x(1 - y)} \cdot \frac{-(1-y)}{4}$
Сократим общие множители $(1-y)$ в числителе и знаменателе, а также числовые коэффициенты 2 и 4:
$\frac{\cancel{2}}{x(\cancel{1 - y})} \cdot \frac{-(\cancel{1-y})}{\cancel{4}_2} = \frac{-1}{2x}$
Ответ: $-\frac{1}{2x}$

2) Рассмотрим выражение $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}) \cdot \frac{(a-b)^2}{6}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках. В скобках находится разность двух одинаковых дробей:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 0$
Теперь результат из скобок (который равен нулю) умножим на оставшуюся часть выражения:
$0 \cdot \frac{(a-b)^2}{6} = 0$
Произведение любого выражения на ноль равно нулю.
Ответ: $0$

33. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключенных между числами 15 и 15,2.

Задача состоит в том, чтобы найти два рациональных и два иррациональных числа, которые находятся в интервале между 15 и 15,2. Это означает, что мы ищем числа $x$, удовлетворяющие неравенству $15 < x < 15,2$.

Рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Конечные десятичные дроби и периодические десятичные дроби являются рациональными числами.

Чтобы найти два рациональных числа между 15 и 15,2, мы можем выбрать любые конечные десятичные дроби, которые больше 15 и меньше 15,2.

1. Первое число: возьмем 15,1. Это число удовлетворяет условию $15 < 15,1 < 15,2$. Его можно представить в виде дроби $\frac{151}{10}$, следовательно, оно является рациональным.

2. Второе число: возьмем 15,15. Это число также удовлетворяет условию $15 < 15,15 < 15,2$. Его можно представить в виде дроби $\frac{1515}{100}$ (или, сократив, $\frac{303}{20}$), следовательно, оно тоже является рациональным.

Ответ: два рациональных числа между 15 и 15,2 — это, например, 15,1 и 15,15.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами иррациональных чисел являются корни из чисел, не являющихся точными квадратами (например, $\sqrt{2}$), а также число $\pi$.

Чтобы найти иррациональные числа в заданном интервале $15 < x < 15,2$, мы можем использовать метод с извлечением квадратного корня. Возведем в квадрат границы нашего интервала: $15^2 = 225$ и $15,2^2 = 231,04$.

Теперь нам нужно найти два числа $a$ и $b$ в интервале $(225; 231,04)$, которые не являются точными квадратами. Корни из этих чисел, $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$, будут иррациональными числами, лежащими в нашем исходном интервале $(15; 15,2)$.

1. Первое число: выберем $a = 226$. Так как $225 < 226 < 231,04$, то $15 < \sqrt{226} < 15,2$. Число 226 не является точным квадратом целого числа, поэтому $\sqrt{226}$ — иррациональное число.

2. Второе число: выберем $b = 227$. Так как $225 < 227 < 231,04$, то $15 < \sqrt{227} < 15,2$. Число 227 также не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{227}$ — иррациональное число.

Другой способ — это сконструировать бесконечную непериодическую дробь. Например, число $15,1010010001...$ является иррациональным и находится в заданном интервале.

Ответ: два иррациональных числа между 15 и 15,2 — это, например, $\sqrt{226}$ и $\sqrt{227}$.

34. 1)

Из города А в город В выехал автобус. Спустя 0,5 часа вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 часа после своего выхода он обогнал автобус. При этом между ними было 2 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

2)

Из пункта А в пункт В выехала грузовая автомашина. Спустя 1,2 часа вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой автомашины на 30 км/ч.

1) Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч.
По условию, скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости автомобиля, значит, скорость автомобиля равна $(x + 20)$ км/ч.
Автобус выехал на 0,5 часа раньше автомобиля.
Автомобиль находился в пути 1,1 часа. Следовательно, к моменту, когда автомобиль обогнал автобус, автобус находился в пути $1,1 + 0,5 = 1,6$ часа.
За это время автобус проехал расстояние $S_{автобуса} = v_{автобуса} \cdot t_{автобуса} = x \cdot 1,6$ км.
Автомобиль за свое время в пути проехал расстояние $S_{автомобиля} = v_{автомобиля} \cdot t_{автомобиля} = (x + 20) \cdot 1,1$ км.
В условии сказано, что автомобиль обогнал автобус и расстояние между ними стало 2 км. Это означает, что автомобиль проехал на 2 км больше, чем автобус.
Составим уравнение:
$S_{автомобиля} = S_{автобуса} + 2$
$(x + 20) \cdot 1,1 = 1,6x + 2$
$1,1x + 22 = 1,6x + 2$
$22 - 2 = 1,6x - 1,1x$
$20 = 0,5x$
$x = \frac{20}{0,5}$
$x = 40$
Таким образом, скорость автобуса составляет 40 км/ч.
Ответ: 40 км/ч.

2) Пусть скорость автобуса равна $y$ км/ч.
По условию, скорость автобуса на 30 км/ч больше скорости грузовой автомашины, значит, скорость грузовой автомашины равна $(y - 30)$ км/ч.
Грузовая автомашина выехала на 1,2 часа раньше автобуса.
Рассмотрим момент времени через 0,8 часа после выезда автобуса. К этому моменту автобус находился в пути 0,8 часа.
Следовательно, грузовая автомашина находилась в пути $0,8 + 1,2 = 2$ часа.
За это время автобус проехал расстояние $S_{автобуса} = v_{автобуса} \cdot t_{автобуса} = y \cdot 0,8$ км.
Грузовая автомашина за свое время в пути проехала расстояние $S_{машины} = v_{машины} \cdot t_{машины} = (y - 30) \cdot 2$ км.
В условии сказано, что в этот момент автобус отставал от машины на 24 км. Это означает, что грузовая машина проехала на 24 км больше, чем автобус.
Составим уравнение:
$S_{машины} = S_{автобуса} + 24$
$2(y - 30) = 0,8y + 24$
$2y - 60 = 0,8y + 24$
$2y - 0,8y = 24 + 60$
$1,2y = 84$
$y = \frac{84}{1,2}$
$y = 70$
Таким образом, скорость автобуса составляет 70 км/ч.
Ответ: 70 км/ч.

35. Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. За какое время могла бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала одна?

Для решения задачи о совместной работе введем переменную. Пусть время, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая в одиночку, равно $x$ часов.

Согласно условию, первая бригада, работая одна, выполняет работу на 12 часов быстрее, чем вторая. Это означает, что второй бригаде для выполнения той же работы потребуется на 12 часов больше. Таким образом, время работы второй бригады составляет $(x + 12)$ часов.

Примем весь объем работы за 1 (одну целую). Тогда производительность (скорость выполнения работы) каждой бригады — это доля работы, выполняемая за 1 час.

Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{x}$ (часть работы/час).

Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{x+12}$ (часть работы/час).

При совместной работе производительности складываются. Совместная производительность двух бригад равна: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$

В задаче сказано, что вместе две бригады выполняют работу за 8 часов. Это значит, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ (часть работы/час).

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$: $\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест): $8 \cdot (2x+12) = 1 \cdot (x^2+12x)$

$16x + 96 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 12x - 16x - 96 = 0$

$x^2 - 4x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 20}{2}$

Первый корень: $x_1 = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Второй корень: $x_2 = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -8$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая одна, составляет 12 часов.

Ответ: 12 часов.