Номер 28, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.

1)

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

2)

$\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$

3)

$\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$

1) Чтобы упростить данное выражение, выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю. Этот метод аналогичен делению многочленов для выделения целой части.

Исходное выражение: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Найдем произведение знаменателя $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ на $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = x - \sqrt{xy}$

Теперь представим числитель исходной дроби в виде суммы этого выражения и остатка:

$x - \sqrt{xy} + y = (x - \sqrt{xy}) + y$

Подставим это обратно в дробь и разделим ее на два слагаемых:

$\frac{(x - \sqrt{xy}) + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{x - \sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Заменим в первом слагаемом числитель на его разложение на множители:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Сократим первое слагаемое, получив упрощенное выражение:

$\sqrt{x} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Ответ: $\sqrt{x} + \frac{y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

2) Для упрощения этого выражения воспользуемся тем же методом, что и в первом пункте.

Исходное выражение: $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$

Для удобства запишем числитель в порядке убывания степеней $\sqrt{a}$: $a + 3\sqrt{a} + 9$. Знаменатель: $\sqrt{a} + 3$.

Найдем произведение знаменателя $\sqrt{a} + 3$ на $\sqrt{a}$:

$\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3) = a + 3\sqrt{a}$

Теперь представим числитель в виде суммы этого выражения и остатка:

$a + 3\sqrt{a} + 9 = (a + 3\sqrt{a}) + 9$

Подставим это обратно в дробь и разделим ее на два слагаемых:

$\frac{(a + 3\sqrt{a}) + 9}{\sqrt{a} + 3} = \frac{a + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{9}{\sqrt{a} + 3}$

Вынесем в числителе первого слагаемого общий множитель $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a} + 3} + \frac{9}{\sqrt{a} + 3}$

Сократим первое слагаемое и получим конечный результат:

$\sqrt{a} + \frac{9}{3 + \sqrt{a}}$

Ответ: $\sqrt{a} + \frac{9}{3 + \sqrt{a}}$

3) Упростим третье выражение, используя тот же самый подход.

Исходное выражение: $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$

Найдем произведение знаменателя $a\sqrt{b} + 2$ на $a\sqrt{b}$:

$a\sqrt{b}(a\sqrt{b} + 2) = (a\sqrt{b})^2 + 2a\sqrt{b} = a^2b + 2a\sqrt{b}$

Это выражение совпадает с первыми двумя слагаемыми в числителе. Представим числитель в виде суммы этого выражения и остатка:

$a^2b + 2a\sqrt{b} + 4 = (a^2b + 2a\sqrt{b}) + 4$

Подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{(a^2b + 2a\sqrt{b}) + 4}{a\sqrt{b} + 2} = \frac{a^2b + 2a\sqrt{b}}{a\sqrt{b} + 2} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

В первом слагаемом вынесем в числителе общий множитель $a\sqrt{b}$:

$\frac{a\sqrt{b}(a\sqrt{b} + 2)}{a\sqrt{b} + 2} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

Сократим первое слагаемое и получим финальное выражение:

$a\sqrt{b} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$

Ответ: $a\sqrt{b} + \frac{4}{a\sqrt{b} + 2}$