Номер 23, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Докажите тождество:

1) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{8\sqrt{2} + 18} = \sqrt{2} + 4.$

1) Чтобы доказать тождество $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$, преобразуем выражение в левой части. Для этого выделим под знаком корня полный квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы хотим представить подкоренное выражение $6 - 4\sqrt{2}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: $a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 4\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{2}$. Методом подбора находим, что $a=2$ и $b=\sqrt{2}$ являются подходящими значениями, так как их квадраты в сумме дают $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6$.
Следовательно, выражение под корнем можно записать в виде квадрата разности:
$6 - 4\sqrt{2} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 - \sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:
$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, оценим знак выражения $2 - \sqrt{2}$. Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, то разность $2 - \sqrt{2}$ является положительным числом. Поэтому $|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна $2 - \sqrt{2}$, что в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\sqrt{8\sqrt{2} + 18} = \sqrt{2} + 4$, преобразуем выражение в левой части. Для этого выделим под знаком корня полный квадрат суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Перепишем подкоренное выражение в более удобном виде: $18 + 8\sqrt{2}$. Мы хотим представить его в виде $(a+b)^2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: $a^2 + b^2 = 18$ и $2ab = 8\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 4\sqrt{2}$. Методом подбора находим, что $a=4$ и $b=\sqrt{2}$ являются подходящими значениями, так как их квадраты в сумме дают $a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$.
Следовательно, выражение под корнем можно записать в виде квадрата суммы:
$18 + 8\sqrt{2} = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (4 + \sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:
$\sqrt{18 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{(4 + \sqrt{2})^2} = |4 + \sqrt{2}|$.
Так как оба слагаемых $4$ и $\sqrt{2}$ положительны, их сумма $4 + \sqrt{2}$ также положительна. Поэтому $|4 + \sqrt{2}| = 4 + \sqrt{2}$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна $4 + \sqrt{2}$, что совпадает с правой частью ($\sqrt{2} + 4$). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.