Номер 21, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5}{3 - 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$;

2) $\frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}$.

1)

Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{3-2\sqrt{2}} + \frac{5}{3+2\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей данных дробей: $(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение. Для этого числитель первой дроби умножим на $(3+2\sqrt{2})$, а числитель второй дроби на $(3-2\sqrt{2})$:

$\frac{5(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} + \frac{5(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{5(3+2\sqrt{2}) + 5(3-2\sqrt{2})}{1}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$5(3+2\sqrt{2}) + 5(3-2\sqrt{2}) = 15 + 10\sqrt{2} + 15 - 10\sqrt{2} = 30$.

Таким образом, значение исходного выражения равно:

$\frac{30}{1} = 30$.

Ответ: $30$.

2)

Чтобы найти значение выражения $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$, так же, как и в предыдущем примере, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})$. Вычислим его значение по формуле разности квадратов:

$(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Числитель первой дроби нужно умножить на $(11+\sqrt{21})$, а числитель второй — на $(11-\sqrt{21})$:

$\frac{(11+\sqrt{21})(11+\sqrt{21})}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})} + \frac{(11-\sqrt{21})(11-\sqrt{21})}{(11+\sqrt{21})(11-\sqrt{21})} = \frac{(11+\sqrt{21})^2 + (11-\sqrt{21})^2}{100}$.

Теперь раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(11+\sqrt{21})^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 = 121 + 22\sqrt{21} + 21 = 142 + 22\sqrt{21}$.

$(11-\sqrt{21})^2 = 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 = 121 - 22\sqrt{21} + 21 = 142 - 22\sqrt{21}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(142 + 22\sqrt{21}) + (142 - 22\sqrt{21}) = 142 + 142 = 284$.

Подставим полученное значение числителя в дробь:

$\frac{284}{100}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{284}{100} = \frac{71 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{71}{25}$.

Ответ: $\frac{71}{25}$.