Номер 17, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Внесите множитель под знак корня:

1) $2x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}$;

2) $3a^2b \sqrt{\frac{b}{a}}$, где $a > 0, b > 0$;

3) $4ab \sqrt{\frac{a}{4b}}$, где $a < 0, b < 0$;

4) $-a^4 \sqrt{7}$;

5) $\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b^3}{a}}$, где $a < 0, b < 0$;

6) $6x \sqrt{-\frac{x}{3}}$.

1) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо определить знак множителя. Выражение $\sqrt{\frac{1}{x}}$ имеет смысл при $\frac{1}{x} \ge 0$, что означает $x > 0$. Поскольку $x > 0$, множитель $2x^3$ также положителен. Для внесения положительного множителя под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. $2x^3 \sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{(2x^3)^2 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{4x^6 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{\frac{4x^6}{x}} = \sqrt{4x^5}$.
Ответ: $\sqrt{4x^5}$.

2) По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, множитель $3a^2b$ является положительным, так как $3>0$, $a^2>0$ и $b>0$. Вносим положительный множитель под знак корня, возведя его в квадрат: $3a^2b \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{(3a^2b)^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{9a^4b^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{9a^4b^3}{a}} = \sqrt{9a^{4-1}b^3} = \sqrt{9a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt{9a^3b^3}$.

3) По условию $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{4b}$ положительно, так как является частным двух отрицательных величин ($a$ и $4b$). Множитель $4ab$ является положительным, так как представляет собой произведение двух отрицательных чисел $a$ и $b$, умноженное на положительное число 4. Вносим положительный множитель $4ab$ под знак корня: $4ab \sqrt{\frac{a}{4b}} = \sqrt{(4ab)^2 \cdot \frac{a}{4b}} = \sqrt{16a^2b^2 \cdot \frac{a}{4b}} = \sqrt{\frac{16a^3b^2}{4b}} = \sqrt{4a^3b^{2-1}} = \sqrt{4a^3b}$.
Ответ: $\sqrt{4a^3b}$.

4) Множитель, который нужно внести под знак корня, это $-a^4$. Так как $a^4$ является четной степенью, $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$. Следовательно, множитель $-a^4 \le 0$. Чтобы внести отрицательный или равный нулю множитель $C$ под знак квадратного корня, используется правило $C\sqrt{A} = -\sqrt{C^2 A}$. Применяя это правило, получаем: $-a^4 \sqrt{7} = -\sqrt{(-a^4)^2 \cdot 7} = -\sqrt{(a^4)^2 \cdot 7} = -\sqrt{a^8 \cdot 7} = -\sqrt{7a^8}$.
Ответ: $-\sqrt{7a^8}$.

5) По условию $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{b^3}{a}$ является положительным, так как $b^3 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа) и $a < 0$. Множитель $\frac{a}{b}$ является положительным, так как это частное двух отрицательных чисел. Вносим положительный множитель $\frac{a}{b}$ под знак корня: $\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b^3}{a}} = \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \frac{b^3}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^3}{a}} = \sqrt{\frac{a^2 b^3}{a b^2}} = \sqrt{a^{2-1}b^{3-2}} = \sqrt{ab}$.
Ответ: $\sqrt{ab}$.

6) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-\frac{x}{3} \ge 0$. Умножив обе части на $-3$, получим $x \le 0$. Множитель $6x$ является неположительным, так как $x \le 0$. Для внесения отрицательного (или равного нулю) множителя $C$ под знак корня, используется правило $C\sqrt{A} = -\sqrt{C^2 A}$. Применяем это правило для $C=6x$ и $A=-\frac{x}{3}$: $6x \sqrt{-\frac{x}{3}} = -\sqrt{(6x)^2 \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)} = -\sqrt{36x^2 \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)} = -\sqrt{-\frac{36x^3}{3}} = -\sqrt{-12x^3}$.
Ответ: $-\sqrt{-12x^3}$.