Номер 12, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Преобразуйте выражение:

1) $\sqrt{a^4 b^4}$;

2) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$;

3) $\sqrt{b^6 c^8}$, где $b \geq 0$;

4) $\sqrt{16x^4 y^{12}}$;

5) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$;

6) $\sqrt{0,25 p^2 y^6}$, где $p \geq 0, y \leq 0$.

1) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$ и свойством степеней $(x^m)^n=x^{mn}$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4b^4 = (a^2)^2(b^2)^2 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2} = |a^2b^2|$.
Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$ и $b$, их произведение $a^2b^2$ также всегда неотрицательно.
Следовательно, $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$.

2) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$.
$\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{16 \cdot (a^6)^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{(a^6)^2} = 4|a^6|$. Поскольку $a^6 = (a^3)^2 \ge 0$, то $|a^6| = a^6$. Таким образом, числитель равен $4a^6$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$. Следовательно, $|b^5| = b^5$.
Объединяем числитель и знаменатель: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$.

3) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{c^8}$.
Упростим первый множитель: $\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. По условию $b \ge 0$, значит $b^3 \ge 0$. Следовательно, $|b^3| = b^3$.
Упростим второй множитель: $\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4|$. Поскольку $c^4 = (c^2)^2 \ge 0$ для любого $c$, то $|c^4| = c^4$.
Перемножаем результаты: $b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
$\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}}$.
$\sqrt{16} = 4$.
$\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$, то $|x^2|=x^2$.
$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6=(y^3)^2 \ge 0$ при любом $y$, то $|y^6|=y^6$.
Перемножаем полученные выражения: $4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$.

5) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$.
$\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Объединяем: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$.

6) Преобразуем выражение $\sqrt{0.25p^2y^6}$, где $p \ge 0, y \le 0$.
$\sqrt{0.25p^2y^6} = \sqrt{0.25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6}$.
$\sqrt{0.25} = 0.5$.
$\sqrt{p^2} = |p|$. По условию $p \ge 0$, поэтому $|p| = p$.
$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y \le 0$, поэтому $y^3 \le 0$. Следовательно, $|y^3| = -y^3$.
Перемножаем результаты: $0.5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0.5py^3$.
Ответ: $-0.5py^3$.