Номер 10, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $\sqrt{y^4} = y^2$;

2) $\sqrt{x^6} = x^3$;

3) $\sqrt{a^{14}} = -a^7$;

4) $\sqrt{x^{12}} = x^6$;

5) $\sqrt{c^{10}} = -c^5$;

6) $\sqrt{b^2} = b$;

7) $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$ ?

1) Равенство $\sqrt{y^4} = y^2$.
Для решения используем свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$. Применяя указанное свойство, где в качестве $a$ выступает $y^2$, получаем $\sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно при любом действительном значении $y$ (квадрат любого числа не может быть отрицательным). Поэтому, модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|y^2| = y^2$. Таким образом, левая часть равенства $\sqrt{y^4}$ тождественно равна $y^2$ для любого значения $y$.
Ответ: при любом значении $y$.

2) Равенство $\sqrt{x^6} = x^3$.
Преобразуем левую часть, представив подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2}$. По свойству корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Исходное равенство принимает вид: $|x^3| = x^3$. Равенство $|a| = a$ верно только в том случае, когда $a \ge 0$. В нашем случае это означает, что $x^3 \ge 0$. Неравенство $x^3 \ge 0$ выполняется, когда $x \ge 0$.
Ответ: при $x \ge 0$.

3) Равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2}$. Используя свойство $\sqrt{k^2} = |k|$, получаем: $\sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$. Исходное равенство принимает вид: $|a^7| = -a^7$. Равенство $|k| = -k$ верно только в том случае, когда $k \le 0$. В данном случае это означает, что $a^7 \le 0$. Неравенство $a^7 \le 0$ выполняется, когда $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

4) Равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Представим левую часть в виде: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$. Исходное равенство становится: $|x^6| = x^6$. Выражение $x^6$ всегда неотрицательно, так как любое число в четной степени ($6$) не может быть отрицательным. Значит, $x^6 \ge 0$ при любом действительном $x$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|x^6| = x^6$ является тождеством.
Ответ: при любом значении $x$.

5) Равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2}$. По свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем: $\sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$. Исходное равенство принимает вид: $|c^5| = -c^5$. Это равенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $c^5 \le 0$. Неравенство $c^5 \le 0$ выполняется, когда $c \le 0$.
Ответ: при $c \le 0$.

6) Равенство $\sqrt{b^2} = b$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2} = |b|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|b| = b$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда $b$ является неотрицательным числом. Следовательно, $b \ge 0$.
Ответ: при $b \ge 0$.

7) Равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$.
Рассмотрим области определения левой и правой частей равенства. Левая часть, $\sqrt{x^2}$, определена для всех действительных чисел $x$, так как $x^2 \ge 0$ всегда. По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$. Правая часть, $(\sqrt{x})^2$, определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть при $x \ge 0$. Для того чтобы равенство было верным, обе его части должны быть определены. Это возможно только при $x \ge 0$. Теперь проверим, выполняется ли равенство при $x \ge 0$. При $x \ge 0$: Левая часть: $\sqrt{x^2} = |x| = x$ (так как $x$ неотрицательно). Правая часть: $(\sqrt{x})^2 = x$ (по определению корня). Поскольку при $x \ge 0$ обе части равны $x$, равенство верно.
Ответ: при $x \ge 0$.