Номер 15, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $a\sqrt{3}$, где $a \ge 0$;

2) $x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}}$;

3) $a\sqrt{3}$, где $a < 0$;

4) $x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}}$;

5) $c\sqrt{3c}$;

6) $c\sqrt[4]{3c^4}$.

1) В данном задании, вероятнее всего, имеется в виду операция внесения множителя под знак корня. Для выражения $a\sqrt{3}$ при условии $a \ge 0$, множитель $a$ является неотрицательным. Мы можем представить $a$ как $\sqrt{a^2}$.
Тогда:$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$.
Ответ: $\sqrt{3a^2}$

2) Внесем множитель $x$ под знак корня в выражении $x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}}$.
Сначала определим область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{2}{x} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x > 0$.
Поскольку $x > 0$, мы можем записать $x$ как $\sqrt{x^2}$.
$x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{x^2 \cdot \frac{2}{x}} = \sqrt{2x}$.
Ответ: $\sqrt{2x}$

3) Внесем множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{3}$ при условии $a < 0$.
Так как $a$ — отрицательное число, его можно представить в виде $a = -|a| = -\sqrt{a^2}$.
Тогда:
$a\sqrt{3} = (-\sqrt{a^2}) \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$.
Ответ: $-\sqrt{3a^2}$

4) Внесем множитель $x$ под знак корня в выражении $x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}}$.
Область допустимых значений: $-\frac{2}{x} \ge 0$, что означает $\frac{2}{x} \le 0$. Так как $2 > 0$, то $x < 0$.
Поскольку $x < 0$, мы можем записать $x$ как $x = -|x| = -\sqrt{x^2}$.
$x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}} = (-\sqrt{x^2}) \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}} = -\sqrt{x^2 \cdot \left(-\frac{2}{x}\right)} = -\sqrt{-2x}$.
(Заметим, что при $x < 0$ выражение $-2x$ будет положительным, поэтому корень определен).
Ответ: $-\sqrt{-2x}$

5) Внесем множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt{3c}$.
Область допустимых значений для корня: $3c \ge 0$, откуда $c \ge 0$.
Так как множитель $c$ неотрицателен, мы можем записать его как $c = \sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{3c} = \sqrt{c^2 \cdot 3c} = \sqrt{3c^3}$.
Ответ: $\sqrt{3c^3}$

6) Внесем множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt{3c^4}$.
Подкоренное выражение $3c^4$ определено для любого действительного $c$, так как $c^4 \ge 0$. Необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака множителя $c$.
Случай 1: $c \ge 0$.
В этом случае $c = \sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c^4} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{3c^4} = \sqrt{c^2 \cdot 3c^4} = \sqrt{3c^6}$.
Случай 2: $c < 0$.
В этом случае $c = -|c| = -\sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c^4} = (-\sqrt{c^2}) \cdot \sqrt{3c^4} = -\sqrt{c^2 \cdot 3c^4} = -\sqrt{3c^6}$.
Ответ: $\sqrt{3c^6}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{3c^6}$ при $c < 0$.