Номер 14, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{9a^2b}$, где $a < 0$;

2) $\sqrt{-3c^3}$;

3) $2,1\sqrt{300x^4}$, где $x > 0$;

4) $\sqrt{-5m^7}$;

5) $\sqrt{32a^4x^3}$;

6) $a\sqrt{a^5}$;

7) $\sqrt{144a^3b^3}$, где $a < 0, b < 0$;

8) $\frac{1}{x}\sqrt{-x^3}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{9a^2b}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень: $\sqrt{9 \cdot a^2 \cdot b}$. Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xyz}=\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{z}$ (при условии, что подкоренные выражения неотрицательны), получаем $\sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$. Известно, что $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{a^2}=|a|$. Таким образом, выражение преобразуется к виду $3|a|\sqrt{b}$. По условию задачи $a < 0$, следовательно, модуль отрицательного числа $a$ равен $-a$. Подставляя это в наше выражение, получаем $3(-a)\sqrt{b} = -3a\sqrt{b}$. Заметим, что для существования корня необходимо, чтобы $b \ge 0$.
Ответ: $-3a\sqrt{b}$

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{-3c^3}$ имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-3c^3 \ge 0$. Разделив обе части на -3, получаем $c^3 \le 0$, что означает $c \le 0$. Представим подкоренное выражение в виде $\sqrt{c^2 \cdot (-3c)}$. Так как $c \le 0$, то множитель $-3c$ будет неотрицательным. Теперь мы можем вынести $c^2$ из-под знака корня: $\sqrt{c^2} \cdot \sqrt{-3c} = |c|\sqrt{-3c}$. Поскольку $c \le 0$, то $|c| = -c$. Следовательно, итоговое выражение равно $-c\sqrt{-3c}$.
Ответ: $-c\sqrt{-3c}$

3) Упростим выражение $2.1\sqrt{300x^4}$. Сначала вынесем множитель из-под знака корня. Разложим подкоренное выражение на множители: $300x^4 = 100 \cdot 3 \cdot x^4 = (10)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{300x^4} = \sqrt{100 \cdot x^4 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{3} = 10x^2\sqrt{3}$. (Здесь $|x^2|=x^2$, так как $x^2$ всегда неотрицательно). Теперь умножим полученное выражение на коэффициент $2.1$: $2.1 \cdot (10x^2\sqrt{3}) = 21x^2\sqrt{3}$. Условие $x > 0$ является избыточным, но не противоречит решению.
Ответ: $21x^2\sqrt{3}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{-5m^7}$. Область определения задается условием $-5m^7 \ge 0$, откуда $m^7 \le 0$, что означает $m \le 0$. Представим подкоренное выражение, выделив множитель с четной степенью: $-5m^7 = -5 \cdot m \cdot m^6 = (-5m) \cdot m^6$. Так как $m \le 0$, выражение $-5m$ неотрицательно. $\sqrt{-5m^7} = \sqrt{m^6 \cdot (-5m)} = \sqrt{m^6} \cdot \sqrt{-5m} = \sqrt{(m^3)^2} \cdot \sqrt{-5m} = |m^3|\sqrt{-5m}$. Поскольку $m \le 0$, то $m^3 \le 0$, и, следовательно, $|m^3| = -m^3$. В результате получаем $-m^3\sqrt{-5m}$.
Ответ: $-m^3\sqrt{-5m}$

5) В выражении $\sqrt{32a^4x^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $32a^4x^3 \ge 0$. Так как $32a^4 \ge 0$ для любого $a$, то условие сводится к $x^3 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение на множители: $32a^4x^3 = 16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot x^2 \cdot x$. Сгруппируем полные квадраты: $\sqrt{(16a^4x^2) \cdot (2x)}$. Вынесем множители из-под корня: $\sqrt{16a^4x^2} \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{16}\sqrt{a^4}\sqrt{x^2}\sqrt{2x} = 4|a^2||x|\sqrt{2x}$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Поскольку $x \ge 0$, то $|x| = x$. Окончательное выражение: $4a^2x\sqrt{2x}$.
Ответ: $4a^2x\sqrt{2x}$

6) Для выражения $a\sqrt{a^5}$ корень определен при $a^5 \ge 0$, то есть $a \ge 0$. Сначала упростим корень $\sqrt{a^5}$, вынеся из-под него множитель. $a^5 = a^4 \cdot a$. $\sqrt{a^5} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^4}\sqrt{a} = a^2\sqrt{a}$. Теперь умножим результат на множитель $a$, стоящий перед корнем: $a \cdot (a^2\sqrt{a}) = a^3\sqrt{a}$.
Ответ: $a^3\sqrt{a}$

7) В выражении $\sqrt{144a^3b^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $144a^3b^3 \ge 0$, что равносильно $(ab)^3 \ge 0$ или $ab \ge 0$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ положительно, так что условие выполняется. Разложим подкоренное выражение: $144a^3b^3 = 144 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b = (144a^2b^2) \cdot (ab)$. Вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt{144a^2b^2 \cdot ab} = \sqrt{144a^2b^2}\sqrt{ab} = 12|a||b|\sqrt{ab}$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Подставляем в выражение: $12(-a)(-b)\sqrt{ab} = 12ab\sqrt{ab}$.
Ответ: $12ab\sqrt{ab}$

8) Область определения выражения $\frac{1}{x}\sqrt{-x^3}$ задается условиями: $x \ne 0$ (из-за знаменателя) и $-x^3 \ge 0$ (из-за корня). Условие $-x^3 \ge 0$ эквивалентно $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Объединяя оба условия, получаем $x < 0$. Упростим корень: $\sqrt{-x^3} = \sqrt{x^2(-x)}$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Выносим множитель: $\sqrt{x^2(-x)} = \sqrt{x^2}\sqrt{-x} = |x|\sqrt{-x}$. Поскольку $x < 0$, то $|x| = -x$. Таким образом, $\sqrt{-x^3} = -x\sqrt{-x}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{x} \cdot (-x\sqrt{-x})$. Сокращаем $x$ в числителе и знаменателе: $-\sqrt{-x}$.
Ответ: $-\sqrt{-x}$