Номер 25, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите дроби (25–26):

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}};$

2) $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}};$

3) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}};$

4) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}};$

5) $\frac{2\sqrt{10} + 5}{4 + \sqrt{10}};$

6) $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$, вынесем общие множители из числителя и знаменателя. Общим множителем для всех подкоренных выражений является 5.
Разложим числитель на множители: $\sqrt{10} - \sqrt{30} = \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{5 \cdot 6} = \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{6})$.
Разложим знаменатель на множители: $\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.
В данном виде дробь является сокращенной.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$ найдем общий множитель в числителе и знаменателе путем разложения слагаемых.
Преобразуем числитель: $2\sqrt{10} - 5 = 2\sqrt{2}\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Преобразуем знаменатель: $4 - \sqrt{10} = 2 \cdot 2 - \sqrt{2}\sqrt{5} = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 - \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Для ее сокращения попробуем вынести в числителе общий множитель $\sqrt{3}$:
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3}$.
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{3}(2 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}(2 + \frac{3\sqrt{6}}{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Сокращаем на общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$, вынесем общие множители из числителя и знаменателя.
В числителе: $\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
Подставим в дробь:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

5) Сократим дробь $\frac{2\sqrt{10} + 5}{4 + \sqrt{10}}$.
Вынесем общие множители, как в пункте 2.
Числитель: $2\sqrt{10} + 5 = 2\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$.
Знаменатель: $4 + \sqrt{10} = 2 \cdot 2 + \sqrt{2}\sqrt{5} = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 + \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$.
Дробь принимает вид:
$\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}$.
Сокращаем на общий множитель $(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$.
Преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Для этого представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь:
$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$.
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$:
$\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.