Номер 27, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (27–28):

$ \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $;

2) $ \frac{x + \sqrt{cx}}{c\sqrt{x}} $;

3) $ \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}} $;

4) $ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} $;

5) $ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $;

6) $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$. Этот метод является основным, когда в числителе нельзя выделить множитель, содержащий иррациональность из знаменателя. Предполагается, что $x > 0$.
$\frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(3 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2} = \frac{3\sqrt{x} + x}{x}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{x} + x}{x}$.

2) В дроби $\frac{x + \sqrt{cx}}{c\sqrt{x}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{x}$. Предполагается, что $x > 0$ и $c \ge 0$.
Числитель: $x + \sqrt{cx} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{c}\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{c})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{c})}{c\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{c}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{c}$.

3) В дроби $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$ преобразуем числитель, представив $3$ как $(\sqrt{3})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{3}$.
Числитель: $2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.

4) В дроби $\frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$ преобразуем числитель, представив $2$ как $(\sqrt{2})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{2}$.
Числитель: $2 - 3\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 3)}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 3}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 3}{4}$.

5) В дроби $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{ab}$. Предполагается, что $a > 0$ и $b > 0$.
Числитель: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

6) В дроби $\frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$ преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{y}$. Предполагается, что $y > 0$ и $b \neq 0$.
Числитель: $y + b\sqrt{y} = (\sqrt{y})^2 + b\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} + b)$.
Теперь подставим преобразованный числитель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{y}(\sqrt{y} + b)}{b\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} + b}{b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{y} + b}{b}$.