Страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1, \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1; \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1, \\ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1; \end{matrix}\right.$

3) $\left\{\begin{matrix} \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2, \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2; \end{matrix}\right.$

4) $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1, \\ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3. \end{matrix}\right.$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 $.

$ \frac{x^2 - 9}{4 - x} - 1 \ge 0 $
$ \frac{x^2 - 9 - (4 - x)}{4 - x} \ge 0 $
$ \frac{x^2 + x - 13}{4 - x} \ge 0 $

Найдем корни числителя $ x^2 + x - 13 = 0 $ с помощью дискриминанта: $ D = 1^2 - 4(1)(-13) = 53 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2} $.Корень знаменателя $ 4 - x = 0 \implies x = 4 $.Нанесем точки $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} $, $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} $, $ 4 $ на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1 $.

$ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} - 1 > 0 $
$ \frac{x^2 - 5x - 4 - (x^2 - 4)}{x^2 - 4} > 0 $
$ \frac{-5x}{x^2 - 4} > 0 $

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$ \frac{5x}{x^2 - 4} < 0 \implies \frac{5x}{(x-2)(x+2)} < 0 $.Корни: $ x=0, x=2, x=-2 $.Применяя метод интервалов, получаем решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.

3. Найдем пересечение решений двух неравенств.Приближенные значения корней: $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx -4.14 $ и $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx 3.14 $.Решение 1: $ x \in (-\infty, -4.14] \cup [3.14, 4) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.Пересечением этих множеств является интервал $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] $.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] $.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1 \\ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1 $.

$ \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} - 1 < 0 $
$ \frac{x^2 - 9 - (5 - 2x)}{5 - 2x} < 0 $
$ \frac{x^2 + 2x - 14}{5 - 2x} < 0 $

Корни числителя $ x^2 + 2x - 14 = 0 $: $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-14)}}{2} = -1 \pm \sqrt{15} $.Корень знаменателя $ 5 - 2x = 0 \implies x = 2.5 $.Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-1 - \sqrt{15}, 2.5) \cup (-1 + \sqrt{15}, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1 $.

$ \frac{2x^2 - 5x - 3 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} \ge 0 $
$ \frac{x^2 - 5x - 2}{x^2 - 1} \ge 0 $

Корни числителя $ x^2 - 5x - 2 = 0 $: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(-2)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} $.Корни знаменателя $ x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 $.Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Приближенные значения: $ -1 - \sqrt{15} \approx -4.87 $, $ -1 + \sqrt{15} \approx 2.87 $, $ \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \approx -0.37 $, $ \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \approx 5.37 $.Решение 1: $ x \in (-4.87, 2.5) \cup (2.87, +\infty) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -1) \cup [-0.37, 1) \cup [5.37, +\infty) $.Пересечение множеств: $ x \in (-1-\sqrt{15}, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

Ответ: $ (-1-\sqrt{15}, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2 \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2 $.

$ \frac{2x^2 - 9 - 2(3 - x)}{3 - x} \ge 0 $
$ \frac{2x^2 + 2x - 15}{3 - x} \ge 0 $

Корни числителя $ 2x^2 + 2x - 15 = 0 $: $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{2} $.Корень знаменателя $ 3 - x = 0 \implies x = 3 $.Методом интервалов: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{31}}{2}, 3) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2 $.

$ \frac{x^2 - 5x - 4 - 2(1 - x^2)}{1 - x^2} \le 0 $
$ \frac{3x^2 - 5x - 6}{1 - x^2} \le 0 $

Корни числителя $ 3x^2 - 5x - 6 = 0 $: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-6)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{6} $.Корни знаменателя $ 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1 $.Методом интервалов: $ x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{97}}{6}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Приближенные значения: $ \frac{-1 - \sqrt{31}}{2} \approx -3.28 $, $ \frac{-1 + \sqrt{31}}{2} \approx 2.28 $, $ \frac{5 + \sqrt{97}}{6} \approx 2.48 $.Решение 1: $ x \in (-\infty, -3.28] \cup [2.28, 3) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -1) \cup [-0.81, 1) \cup [2.48, +\infty) $.Пересечение: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, 3) $.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, 3) $.

4)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 \\ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 $.Это неравенство совпадает с первым неравенством из пункта 1). Его решение:$ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3 $.

$ \frac{x^2 - 3x - 14 - 3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} < 0 $
$ \frac{x^2 - 3x - 14 - 3x^2 + 12}{x^2 - 4} < 0 $
$ \frac{-2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} < 0 $

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$ \frac{2x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4} > 0 $.

Рассмотрим числитель $ 2x^2 + 3x + 2 $. Его дискриминант $ D = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0 $. Так как старший коэффициент $ 2 > 0 $, числитель всегда положителен.Следовательно, неравенство равносильно $ x^2 - 4 > 0 $.$ (x-2)(x+2) > 0 $.Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Решение 1: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $.Так как $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx -4.14 < -2 $ и $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx 3.14 > 2 $, то множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.Следовательно, пересечение совпадает с решением первого неравенства.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.

20.14. 1)

$\begin{cases}|x-2| \ge 4, \\\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}|3x-2| \ge 5, \\\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2;\end{cases}$

3)

$\begin{cases}|x+3|<6, \\\frac{x^2-7x+8}{x^2-4}>1;\end{cases}$

4)

$\begin{cases}|x+5|<1, \\\frac{x^2-7x+8}{x^2-2}>2.\end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x-2| \ge 4 \\ \frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x-2| \ge 4$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x-2 \ge 4$ или $x-2 \le -4$.

$x \ge 6$ или $x \le -2$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} - 2 > 0$

$\frac{x^2-5x+4 - 2(x^2-4)}{x^2-4} > 0$

$\frac{x^2-5x+4 - 2x^2+8}{x^2-4} > 0$

$\frac{-x^2-5x+12}{x^2-4} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2+5x-12}{x^2-4} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.Корни числителя $x^2+5x-12=0$:$D = 5^2 - 4(1)(-12) = 25 + 48 = 73$.$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2}$.Корни знаменателя $x^2-4=0$: $x_3 = -2$, $x_4 = 2$.

Нанесем точки $\frac{-5-\sqrt{73}}{2}$, $-2$, $\frac{-5+\sqrt{73}}{2}$, $2$ на числовую ось и определим знаки выражения в интервалах.Точки в порядке возрастания: $\frac{-5-\sqrt{73}}{2} \approx -6.77$, $-2$, $\frac{-5+\sqrt{73}}{2} \approx 1.77$, $2$.Методом интервалов получаем, что неравенство $\frac{x^2+5x-12}{x^2-4} < 0$ выполняется при $x \in (\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2) \cup (\frac{-5+\sqrt{73}}{2}, 2)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2) \cup (\frac{-5+\sqrt{73}}{2}, 2)$.

Пересечение этих множеств: $(\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2)$.

Ответ: $(\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2)$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |3x-2| \ge 5 \\ \frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|3x-2| \ge 5$.

Это неравенство равносильно совокупности:

$3x-2 \ge 5$ или $3x-2 \le -5$.

$3x \ge 7$ или $3x \le -3$.

$x \ge \frac{7}{3}$ или $x \le -1$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2$.

$\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} - 2 \le 0$

$\frac{3x^2-7x+8 - 2(x^2-1)}{x^2-1} \le 0$

$\frac{3x^2-7x+8 - 2x^2+2}{x^2-1} \le 0$

$\frac{x^2-7x+10}{x^2-1} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x-2)(x-5)}{(x-1)(x+1)} \le 0$.

Корни числителя (включаются в решение): $x=2, x=5$.Корни знаменателя (не включаются в решение): $x=-1, x=1$.Методом интервалов находим решение: $x \in (-1, 1) \cup [2, 5]$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (-1, 1) \cup [2, 5]$.

Пересечение множества $(-\infty, -1]$ с $(-1, 1) \cup [2, 5]$ пусто.Пересечение множества $[\frac{7}{3}, +\infty)$ с $(-1, 1) \cup [2, 5]$ есть $[\frac{7}{3}, 5]$.

Ответ: $[\frac{7}{3}, 5]$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x+3| < 6 \\ \frac{x^2-7x+8}{x^2-4} > 1 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x+3| < 6$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-6 < x+3 < 6$

$-9 < x < 3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-9, 3)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-7x+8}{x^2-4} > 1$.

$\frac{x^2-7x+8}{x^2-4} - 1 > 0$

$\frac{x^2-7x+8 - (x^2-4)}{x^2-4} > 0$

$\frac{-7x+12}{x^2-4} > 0$

$\frac{7x-12}{x^2-4} < 0$

Разложим знаменатель на множители:$\frac{7x-12}{(x-2)(x+2)} < 0$.

Корни числителя: $x = \frac{12}{7}$.Корни знаменателя: $x = -2, x = 2$.Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-9, 3)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

Пересечение $(-9, 3)$ и $(-\infty, -2)$ дает $(-9, -2)$.Пересечение $(-9, 3)$ и $(\frac{12}{7}, 2)$ дает $(\frac{12}{7}, 2)$.Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-9, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x+5| < 1 \\ \frac{x^2-7x+8}{x^2-2} > 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x+5| < 1$.

$-1 < x+5 < 1$

$-6 < x < -4$.

Решение первого неравенства: $x \in (-6, -4)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-7x+8}{x^2-2} > 2$.

$\frac{x^2-7x+8}{x^2-2} - 2 > 0$

$\frac{x^2-7x+8 - 2(x^2-2)}{x^2-2} > 0$

$\frac{-x^2-7x+12}{x^2-2} > 0$

$\frac{x^2+7x-12}{x^2-2} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.Корни числителя $x^2+7x-12=0$:$D = 7^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$.$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.Корни знаменателя $x^2-2=0$: $x_{3,4} = \pm\sqrt{2}$.

Нанесем точки $\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$ на числовую ось.$\frac{-7-\sqrt{97}}{2} \approx -8.42$, $-\sqrt{2} \approx -1.41$, $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\frac{-7+\sqrt{97}}{2} \approx 1.42$.Методом интервалов получаем решение: $x \in (\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-6, -4)$.

Решение 2: $x \in (\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$.

Интервал $(\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$ не имеет пересечения с $(-6, -4)$.Рассмотрим пересечение $(-6, -4)$ с $(\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2})$.Так как $\frac{-7-\sqrt{97}}{2} \approx -8.42 < -6$ и $-\sqrt{2} \approx -1.41 > -4$, то интервал $(-6, -4)$ полностью содержится в интервале $(\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2})$.Следовательно, их пересечение есть $(-6, -4)$.

Ответ: $(-6, -4)$.

20.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\sqrt{4-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{3x+1}};$

2) $y = \frac{\sqrt{x^2-4x-5}}{\sqrt{9-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+5}};$

3) $y = \frac{\sqrt{-x^2+4x+3}}{\sqrt{16-x^2}} - \frac{5}{\sqrt{5-3x}};$

4) $y = \frac{\sqrt{-3x^2+7x-4}}{\sqrt{25-x^2}} - \frac{7}{\sqrt{15-3x}}.$

1) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{\sqrt{4 - x^2}} - \frac{3}{\sqrt{3x + 1}}$ находится из системы неравенств, которая учитывает, что подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренные выражения в знаменателях — строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 4 - x^2 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

2. $4 - x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies |x| < 2 \implies -2 < x < 2$. Решение: $x \in (-2, 2)$.

3. $3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$. Решение: $x \in (-1/3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) ) \cap (-2, 2) \cap (-1/3, +\infty)$.

Пересечение $(-2, 2)$ и $(-1/3, +\infty)$ дает интервал $(-1/3, 2)$.

Далее, пересечение $(-1/3, 2)$ с $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$ дает интервал $(-1/3, 1]$.

Ответ: $x \in (-1/3, 1]$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x - 5}}{\sqrt{9 - 4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x + 5}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ 9 - 4x^2 > 0 \\ 2x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 4x - 5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$.

2. $9 - 4x^2 > 0 \implies 4x^2 < 9 \implies x^2 < 9/4 \implies |x| < 3/2 \implies -1.5 < x < 1.5$. Решение: $x \in (-1.5, 1.5)$.

3. $2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2.5$. Решение: $x \in (-2.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -1] \cup [5, +\infty) ) \cap (-1.5, 1.5) \cap (-2.5, +\infty)$.

Пересечение $(-1.5, 1.5)$ и $(-2.5, +\infty)$ дает интервал $(-1.5, 1.5)$.

Пересечение $(-1.5, 1.5)$ с $(-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$ дает интервал $(-1.5, -1]$.

Ответ: $x \in (-1.5, -1]$.

3) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{16 - x^2}} - \frac{5}{\sqrt{5 - 3x}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2 + 4x + 3 \ge 0 \\ 16 - x^2 > 0 \\ 5 - 3x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-x^2 + 4x + 3 \ge 0 \implies x^2 - 4x - 3 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4(-3) = 28$. Корни $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$. Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 4x - 3 \le 0$ есть отрезок $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$.

2. $16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16 \implies |x| < 4 \implies -4 < x < 4$. Решение: $x \in (-4, 4)$.

3. $5 - 3x > 0 \implies 5 > 3x \implies x < 5/3$. Решение: $x \in (-\infty, 5/3)$.

Найдем пересечение решений: $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}] \cap (-4, 4) \cap (-\infty, 5/3)$.

Пересечение $(-4, 4)$ и $(-\infty, 5/3)$ дает интервал $(-4, 5/3)$.

Найдем пересечение $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$ и $(-4, 5/3)$. Оценим значения: $\sqrt{7} \approx 2.65$, поэтому $2 - \sqrt{7} \approx -0.65$ и $5/3 \approx 1.67$. Так как $-4 < 2 - \sqrt{7}$ и $5/3 < 2 + \sqrt{7}$, то пересечением будет интервал $[2 - \sqrt{7}, 5/3)$.

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{7}, 5/3)$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 7x - 4}}{\sqrt{25 - x^2}} - \frac{7}{\sqrt{15 - 3x}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -3x^2 + 7x - 4 \ge 0 \\ 25 - x^2 > 0 \\ 15 - 3x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-3x^2 + 7x - 4 \ge 0 \implies 3x^2 - 7x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4(3)(4) = 1$. Корни $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$, $x_2 = \frac{7+1}{6} = 4/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x + 4$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $3x^2 - 7x + 4 \le 0$ есть отрезок $[1, 4/3]$.

2. $25 - x^2 > 0 \implies x^2 < 25 \implies |x| < 5 \implies -5 < x < 5$. Решение: $x \in (-5, 5)$.

3. $15 - 3x > 0 \implies 15 > 3x \implies x < 5$. Решение: $x \in (-\infty, 5)$.

Найдем пересечение решений: $[1, 4/3] \cap (-5, 5) \cap (-\infty, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ и $(-\infty, 5)$ дает интервал $(-5, 5)$.

Пересечение $[1, 4/3]$ с $(-5, 5)$. Так как $1$ и $4/3$ принадлежат интервалу $(-5, 5)$, то пересечением будет сам отрезок $[1, 4/3]$.

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.

20.16. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \leq 2, \\ (x-3)(x+1) > 0, \\ |x - 0.2| > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 6 < 2, \\ (2x-3)(x+4) > 0, \\ |x - 1.2| \leq 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - 4x - 11 \leq 1, \\ (x-2)(3x-1) \geq 0, \\ |3x - 0.2| > 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 2, \\ (x-4)(x+1) < 0, \\ |x - 0.2| \leq 4. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 8 \le 2 \\ (x-3)(x+1) > 0 \\ |x - 0.2| > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 8 \le 2$.

Перенесем 2 в левую часть: $x^2 - 2x - 10 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 10$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [1 - \sqrt{11}, 1 + \sqrt{11}]$.

2. Решим второе неравенство: $(x-3)(x+1) > 0$.

Корнями выражения являются $x=-1$ и $x=3$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 0.2| > 1$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 0.2 > 1$ или $x - 0.2 < -1$.

Отсюда $x > 1.2$ или $x < -0.8$.

Решением является $x \in (-\infty, -0.8) \cup (1.2, \infty)$.

4. Найдем пересечение решений всех трех неравенств.

Решение 1: $x \in [1 - \sqrt{11}, 1 + \sqrt{11}]$. (Приближенно $x \in [-2.32, 4.32]$).

Решение 2: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Решение 3: $x \in (-\infty, -0.8) \cup (1.2, \infty)$.

Пересекая все три множества, получаем: $x \in [1 - \sqrt{11}, -1) \cup (3, 1 + \sqrt{11}]$.

Оценим интервалы: $[1 - 3.32, -1) \cup (3, 1 + 3.32] \Rightarrow [-2.32, -1) \cup (3, 4.32]$.

Целые числа в первом интервале: -2. Целые числа во втором интервале: 4.

Множество целых решений системы: $\{-2, 4\}$. Наименьшее из них -2.

Ответ: -2

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 6 < 2 \\ (2x-3)(x+4) > 0 \\ |x - 1.2| \le 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 6 < 2$.

$x^2 - 2x - 8 < 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+2) < 0$. Корни: $x=4$ и $x=-2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $(2x-3)(x+4) > 0$.

Корни: $x=1.5$ и $x=-4$. Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -4) \cup (1.5, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 1.2| \le 2$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x - 1.2 \le 2$.

Прибавим 1.2 ко всем частям: $-2+1.2 \le x \le 2+1.2$, что дает $-0.8 \le x \le 3.2$.

Решение: $x \in [-0.8, 3.2]$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-2, 4)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -4) \cup (1.5, \infty)$.

Решение 3: $x \in [-0.8, 3.2]$.

Пересечение $(-2, 4) \cap [-0.8, 3.2]$ дает $[-0.8, 3.2]$.

Теперь пересечем полученный интервал с решением второго неравенства: $[-0.8, 3.2] \cap ((-\infty, -4) \cup (1.5, \infty))$.

Это дает итоговый интервал: $(1.5, 3.2]$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 2, 3. Наименьшее из них 2.

Ответ: 2

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 11 \le 1 \\ (x-2)(3x-1) \ge 0 \\ |3x - 0.2| > 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 11 \le 1$.

$x^2 - 4x - 12 \le 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+2) \le 0$. Корни: $x=6$ и $x=-2$.

Решение: $x \in [-2, 6]$.

2. Решим второе неравенство: $(x-2)(3x-1) \ge 0$.

Корни: $x=2$ и $x=1/3$. Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [2, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|3x - 0.2| > 3$.

Это равносильно совокупности:

$3x - 0.2 > 3$ или $3x - 0.2 < -3$.

$3x > 3.2$ или $3x < -2.8$.

$x > 3.2/3$ или $x < -2.8/3$. (Приближенно $x > 1.07$ или $x < -0.93$).

Решение: $x \in (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty)$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in [-2, 6]$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [2, \infty)$.

Решение 3: $x \in (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty)$.

Пересечение (1) и (2) дает: $[-2, 1/3] \cup [2, 6]$.

Теперь пересечем результат с (3):

$( [-2, 1/3] \cup [2, 6] ) \cap ( (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty) )$.

Это дает: $[-2, -2.8/3) \cup [2, 6]$.

Оценим интервалы: $[-2, -0.93...) \cup [2, 6]$.

Целые числа в первом интервале: -2, -1. Целые числа во втором интервале: 2, 3, 4, 5, 6.

Множество целых решений: $\{-2, -1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Наименьшее из них -2.

Ответ: -2

4) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 2 \\ (x-4)(x+1) < 0 \\ |x - 0.2| \le 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 8 > 2$.

$x^2 - 5x + 6 > 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x-3) > 0$. Корни: $x=2$ и $x=3$.

Решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x-4)(x+1) < 0$.

Корни: $x=4$ и $x=-1$. Решение находится между корнями: $x \in (-1, 4)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 0.2| \le 4$.

$-4 \le x - 0.2 \le 4$.

$-3.8 \le x \le 4.2$.

Решение: $x \in [-3.8, 4.2]$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Решение 2: $x \in (-1, 4)$.

Решение 3: $x \in [-3.8, 4.2]$.

Пересечение (2) и (3) дает: $(-1, 4) \cap [-3.8, 4.2] = (-1, 4)$.

Теперь пересечем результат с (1):

$(-1, 4) \cap ( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) )$.

Это дает: $(-1, 2) \cup (3, 4)$.

Целые числа в первом интервале: 0, 1. Во втором интервале целых чисел нет.

Множество целых решений: $\{0, 1\}$. Наименьшее из них 0.

Ответ: 0