Страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.25. Цену хрустальной люстры повысили на 45%, затем еще на 20%. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений?

Пусть первоначальная цена люстры равна $x$.

После повышения цены на 45%, новая цена составила 100% + 45% = 145% от первоначальной. Чтобы выразить это математически, умножим первоначальную цену на коэффициент 1,45: $x \times (1 + \frac{45}{100}) = 1.45x$.

Затем эту новую цену ($1.45x$) повысили еще на 20%. Теперь мы берем 100% + 20% = 120% от текущей цены. Для этого умножим текущую цену на коэффициент 1,2: $(1.45x) \times (1 + \frac{20}{100}) = 1.45x \times 1.2$.

Теперь найдем конечную цену, перемножив коэффициенты: $1.45 \times 1.2 = 1.74$. Таким образом, конечная цена люстры составляет $1.74x$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась цена по сравнению с первоначальной, нужно определить, какую долю от начальной цены составляет итоговое увеличение. Итоговое увеличение равно разнице между конечной и начальной ценой: $1.74x - x = 0.74x$.

Чтобы выразить это увеличение в процентах, разделим его на начальную цену и умножим на 100%: $\frac{0.74x}{x} \times 100\% = 0.74 \times 100\% = 74\%$.

Ответ: цена люстры увеличилась на 74%.

19.26. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - 5y = 4, \\ x - 4y = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 6y = 7, \\ 2x - 3y = 8. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения. Исходная система:

$ \begin{cases} 2x - 5y = 4, \\ x - 4y = -2. \end{cases} $

Умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменной x в обоих уравнениях были одинаковыми:

$ \begin{cases} 2x - 5y = 4, \\ 2(x - 4y) = 2(-2); \end{cases} $

$ \begin{cases} 2x - 5y = 4, \\ 2x - 8y = -4. \end{cases} $

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

$(2x - 5y) - (2x - 8y) = 4 - (-4)$

$2x - 5y - 2x + 8y = 4 + 4$

$3y = 8$

$y = \frac{8}{3}$

Подставим найденное значение y в исходное второе уравнение ($x - 4y = -2$) для нахождения x:

$x - 4 \cdot (\frac{8}{3}) = -2$

$x - \frac{32}{3} = -2$

$x = \frac{32}{3} - 2$

$x = \frac{32}{3} - \frac{6}{3}$

$x = \frac{26}{3}$

Пара чисел $(\frac{26}{3}; \frac{8}{3})$ является решением системы.

Ответ: $(\frac{26}{3}; \frac{8}{3})$.

2) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения. Исходная система:

$ \begin{cases} 3x - 6y = 7, \\ 2x - 3y = 8. \end{cases} $

Умножим второе уравнение системы на -2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3x - 6y = 7, \\ -2(2x - 3y) = -2 \cdot 8; \end{cases} $

$ \begin{cases} 3x - 6y = 7, \\ -4x + 6y = -16. \end{cases} $

Теперь сложим первое и второе уравнения системы:

$(3x - 6y) + (-4x + 6y) = 7 + (-16)$

$3x - 4x = -9$

$-x = -9$

$x = 9$

Подставим найденное значение x в исходное второе уравнение ($2x - 3y = 8$) для нахождения y:

$2 \cdot 9 - 3y = 8$

$18 - 3y = 8$

$-3y = 8 - 18$

$-3y = -10$

$y = \frac{10}{3}$

Пара чисел $(9; \frac{10}{3})$ является решением системы.

Ответ: $(9; \frac{10}{3})$.

19.27. Найдите значение выражения $ \frac{2x - 3y}{3x + 3,2} - 6,34 $, если:

1) $ x = 2,21 $ и $ y = -1,32; $

2) $ x = 5,24 $ и $ y = -2,62; $

3) $ x = 6,71 $ и $ y = -2,56; $

4) $ x = -4,28 $ и $ y = 2,35. $

Ответ округлите до сотых.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2x - 3y}{3x + 3,2} - 6,34$ для каждой пары значений $x$ и $y$, необходимо подставить эти значения в выражение, выполнить вычисления и округлить результат до сотых.

1) Найдем значение выражения для $x = 2,21$ и $y = -1,32$.
Подставим данные значения в выражение:
$\frac{2 \cdot 2,21 - 3 \cdot (-1,32)}{3 \cdot 2,21 + 3,2} - 6,34$
Сначала вычислим числитель и знаменатель дроби:
Числитель: $2 \cdot 2,21 - 3 \cdot (-1,32) = 4,42 + 3,96 = 8,38$
Знаменатель: $3 \cdot 2,21 + 3,2 = 6,63 + 3,2 = 9,83$
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$\frac{8,38}{9,83} - 6,34 \approx 0,85249 - 6,34 = -5,48751$
Округляя результат до сотых, получаем $-5,49$.
Ответ: $-5,49$.

2) Найдем значение выражения для $x = 5,24$ и $y = -2,62$.
Подставим данные значения в выражение:
$\frac{2 \cdot 5,24 - 3 \cdot (-2,62)}{3 \cdot 5,24 + 3,2} - 6,34$
Вычислим числитель и знаменатель:
Числитель: $2 \cdot 5,24 - 3 \cdot (-2,62) = 10,48 + 7,86 = 18,34$
Знаменатель: $3 \cdot 5,24 + 3,2 = 15,72 + 3,2 = 18,92$
Подставим полученные значения:
$\frac{18,34}{18,92} - 6,34 \approx 0,96934 - 6,34 = -5,37066$
Округляя результат до сотых, получаем $-5,37$.
Ответ: $-5,37$.

3) Найдем значение выражения для $x = 6,71$ и $y = -2,56$.
Подставим данные значения в выражение:
$\frac{2 \cdot 6,71 - 3 \cdot (-2,56)}{3 \cdot 6,71 + 3,2} - 6,34$
Вычислим числитель и знаменатель:
Числитель: $2 \cdot 6,71 - 3 \cdot (-2,56) = 13,42 + 7,68 = 21,1$
Знаменатель: $3 \cdot 6,71 + 3,2 = 20,13 + 3,2 = 23,33$
Подставим полученные значения:
$\frac{21,1}{23,33} - 6,34 \approx 0,90441 - 6,34 = -5,43559$
Округляя результат до сотых, получаем $-5,44$.
Ответ: $-5,44$.

4) Найдем значение выражения для $x = -4,28$ и $y = 2,35$.
Подставим данные значения в выражение:
$\frac{2 \cdot (-4,28) - 3 \cdot 2,35}{3 \cdot (-4,28) + 3,2} - 6,34$
Вычислим числитель и знаменатель:
Числитель: $2 \cdot (-4,28) - 3 \cdot 2,35 = -8,56 - 7,05 = -15,61$
Знаменатель: $3 \cdot (-4,28) + 3,2 = -12,84 + 3,2 = -9,64$
Подставим полученные значения:
$\frac{-15,61}{-9,64} - 6,34 = \frac{15,61}{9,64} - 6,34 \approx 1,61929 - 6,34 = -4,72071$
Округляя результат до сотых, получаем $-4,72$.
Ответ: $-4,72$.

19.28. Проехав за час половину пути, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч и проехал вторую половину пути за 45 минут. С какой скоростью ехал поезд первую половину пути?

Пусть $v_1$ (в км/ч) — искомая скорость поезда на первой половине пути. Согласно условию, на второй половине пути машинист увеличил скорость на 15 км/ч, следовательно, скорость на втором участке составляет $v_2 = v_1 + 15$ (км/ч).

Время, затраченное на первую половину пути, по условию равно $t_1 = 1$ час. Время, затраченное на вторую половину пути, составляет $t_2 = 45$ минут. Для удобства вычислений переведем это время в часы: $t_2 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4}$ часа.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Первая половина пути: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км. Вторая половина пути: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 15) \cdot \frac{3}{4}$ км.

Так как обе половины пути равны ($S_1 = S_2$), мы можем составить и решить уравнение: $v_1 = (v_1 + 15) \cdot \frac{3}{4}$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в правой части: $v_1 = \frac{3}{4}v_1 + 15 \cdot \frac{3}{4}$ $v_1 = \frac{3}{4}v_1 + \frac{45}{4}$

Теперь перенесем все члены с переменной $v_1$ в левую часть уравнения: $v_1 - \frac{3}{4}v_1 = \frac{45}{4}$

Выполним вычитание в левой части: $\frac{4}{4}v_1 - \frac{3}{4}v_1 = \frac{45}{4}$ $\frac{1}{4}v_1 = \frac{45}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы найти $v_1$: $v_1 = 45$

Таким образом, скорость поезда на первой половине пути составляла 45 км/ч.

Проверка:
1. Расстояние, пройденное за первую половину пути: $S_1 = 45 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 45$ км.
2. Скорость на второй половине пути: $v_2 = 45 + 15 = 60$ км/ч.
3. Расстояние, пройденное за вторую половину пути: $S_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = 45$ км.
Поскольку $S_1 = S_2$, решение найдено верно.

Ответ: 45 км/ч.

19.29. Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите приближенное значение корня:

1) $ \sqrt{578} $;

2) $ \sqrt{42,78} $;

3) $ \sqrt{52,74} $;

4) $ \sqrt{929,58} $;

5) $ \sqrt{4,278} $;

6) $ \sqrt{0,004 472} $.

1) Для нахождения значения $ \sqrt{578} $ представим подкоренное выражение в виде $ a \cdot 10^{2k} $, где $ 1 \le a < 100 $, чтобы было удобно использовать таблицы Брадиса.

$ \sqrt{578} = \sqrt{5,78 \cdot 100} = \sqrt{5,78} \cdot \sqrt{10^2} = \sqrt{5,78} \cdot 10 $.

Теперь найдем значение $ \sqrt{5,78} $ по таблице квадратных корней Брадиса (Таблица VIII. Квадратные корни). Для этого находим строку, соответствующую `5,7`, и столбец, соответствующий `8`. На пересечении находим значение `2,404`.

Таким образом, $ \sqrt{5,78} \approx 2,404 $.

Умножаем полученное значение на 10, чтобы найти искомый корень:

$ \sqrt{578} \approx 2,404 \cdot 10 = 24,04 $.

Ответ: $24,04$.

2) Для нахождения значения $ \sqrt{42,78} $ используем таблицу квадратных корней Брадиса. Число 42,78 находится в диапазоне от 10 до 100, что позволяет напрямую использовать таблицу.

Сначала найдем в таблице (Таблица VIII) значение для трех значащих цифр, то есть для $ \sqrt{42,7} $. В строке `42` и столбце `7` находим значение `6,535`.

Следующее значение в таблице, $ \sqrt{42,8} $, равно `6,542`. Разность между этими значениями составляет $ 6,542 - 6,535 = 0,007 $.

Чтобы учесть четвертую цифру (`8`), воспользуемся поправками в правой части таблицы. Для разности `7` (в последнем знаке) и для цифры `8` находим поправку `6`. Эту поправку нужно прибавить к последним знакам найденного значения.

$ \sqrt{42,78} \approx 6,535 + 0,006 = 6,541 $.

Ответ: $6,541$.

3) Для нахождения значения $ \sqrt{52,74} $ используем таблицу квадратных корней Брадиса.

Находим в таблице (Таблица VIII) значение для $ \sqrt{52,7} $. В строке `52` и столбце `7` находим значение `7,260`.

Следующее значение в таблице, $ \sqrt{52,8} $, равно `7,266`. Разность между ними составляет $ 7,266 - 7,260 = 0,006 $.

Для нахождения поправки для четвертой цифры (`4`), можно либо найти ее в таблице поправок для разности `6`, либо вычислить: $ 0,006 \cdot 0,4 = 0,0024 $. Округляя, получаем поправку `2` в последнем знаке, которую нужно прибавить.

$ \sqrt{52,74} \approx 7,260 + 0,002 = 7,262 $.

Ответ: $7,262$.

4) Для нахождения значения $ \sqrt{929,58} $ представим подкоренное выражение в виде $ a \cdot 10^{2k} $.

$ \sqrt{929,58} = \sqrt{9,2958 \cdot 100} = \sqrt{9,2958} \cdot 10 $.

Так как таблицы Брадиса четырехзначные, округлим число под корнем до четырех значащих цифр: $ 9,296 $. Теперь ищем $ \sqrt{9,296} $.

Находим в таблице Брадиса (Таблица VIII) значение для $ \sqrt{9,29} $. В строке `9.2` и столбце `9` находим значение `3,048`.

Следующее значение в таблице, $ \sqrt{9,30} $, равно `3,050`. Разность составляет $ 3,050 - 3,048 = 0,002 $.

Находим поправку для четвертой цифры (`6`). Для разности `2` и цифры `6` поправка равна $ 2 \cdot 0,6 = 1,2 $, что округляется до `1` в последнем знаке.

$ \sqrt{9,296} \approx 3,048 + 0,001 = 3,049 $.

Окончательный результат: $ \sqrt{929,58} \approx 3,049 \cdot 10 = 30,49 $.

Ответ: $30,49$.

5) Для нахождения значения $ \sqrt{4,278} $ используем таблицу квадратных корней Брадиса. Число 4,278 находится в диапазоне от 1 до 10.

Находим в таблице (Таблица VIII) значение для $ \sqrt{4,27} $. В строке `4.2` и столбце `7` находим значение `2,066`.

Следующее значение в таблице, $ \sqrt{4,28} $, равно `2,069`. Разность между ними составляет $ 2,069 - 2,066 = 0,003 $.

Находим поправку для четвертой цифры (`8`). Для разности `3` и цифры `8` поправка равна $ 3 \cdot 0,8 = 2,4 $, что округляется до `2` в последнем знаке. Эту поправку нужно прибавить.

$ \sqrt{4,278} \approx 2,066 + 0,002 = 2,068 $.

Ответ: $2,068$.

6) Для нахождения значения $ \sqrt{0,004472} $ представим подкоренное выражение в виде $ a \cdot 10^{2k} $, где показатель степени $ 2k $ — четное число.

$ \sqrt{0,004472} = \sqrt{44,72 \cdot 10^{-4}} = \sqrt{44,72} \cdot \sqrt{10^{-4}} = \sqrt{44,72} \cdot 10^{-2} $.

Теперь найдем значение $ \sqrt{44,72} $ по таблице Брадиса.

Находим в таблице (Таблица VIII) значение для $ \sqrt{44,7} $. В строке `44` и столбце `7` находим значение `6,686`.

Следующее значение в таблице, $ \sqrt{44,8} $, равно `6,693`. Разность между ними составляет $ 6,693 - 6,686 = 0,007 $.

Находим поправку для четвертой цифры (`2`). Для разности `7` и цифры `2` поправка равна $ 7 \cdot 0,2 = 1,4 $, что округляется до `1` в последнем знаке. Эту поправку нужно прибавить.

$ \sqrt{44,72} \approx 6,686 + 0,001 = 6,687 $.

Окончательный результат: $ \sqrt{0,004472} \approx 6,687 \cdot 10^{-2} = 0,06687 $.

Ответ: $0,06687$.

19.30. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25 + 3};$

2) $\sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49 - 25 + 4};$

3) $\sqrt{1 - \frac{9}{16} \cdot 36 + 0,82 \cdot 36 - 4};$

4) $\sqrt{1,69 \cdot 1,21 - 1,69 \cdot 0,4 + 2,6};$

5) $3 + \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{369}};$

6) $4 \cdot \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}};$

7) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} - 5,2.$

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25} + 3 $.
Воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} $:
$ \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{0,25} = 14 \cdot 0,9 \cdot 0,6 \cdot 0,5 $.
Выполним умножение по частям:
$ 14 \cdot 0,9 = 12,6 $
$ 12,6 \cdot 0,6 = 7,56 $
$ 7,56 \cdot 0,5 = 3,78 $.
Теперь прибавим 3 к полученному результату:
$ 3,78 + 3 = 6,78 $.
Ответ: $6,78$.

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49 - 25} + 4 $.
Сначала упростим выражение под корнем. Вынесем общий множитель 49 за скобки:
$ \sqrt{49 \cdot (0,87 + 0,82) - 25} + 4 $.
Вычислим сумму в скобках:
$ 0,87 + 0,82 = 1,69 $.
Подставим значение в выражение:
$ \sqrt{49 \cdot 1,69 - 25} + 4 = \sqrt{82,81 - 25} + 4 = \sqrt{57,81} + 4 $.
Так как $ \sqrt{57,81} $ не является рациональным числом, а в подобных заданиях ответы обычно целочисленные или простые дроби, вероятно, в условии есть опечатка. Наиболее вероятная опечатка — число 49 вместо 100. Если это так, то решение будет следующим:
$ \sqrt{0,87 \cdot 100 + 0,82 \cdot 100 - 25} + 4 = \sqrt{100 \cdot (0,87 + 0,82) - 25} + 4 = \sqrt{100 \cdot 1,69 - 25} + 4 = \sqrt{169 - 25} + 4 = \sqrt{144} + 4 = 12 + 4 = 16 $.
Ответ: Принимая во внимание вероятную опечатку в условии, ответ равен 16. При решении строго по условию, ответ $ \sqrt{57,81} + 4 $.

3) Вычислим значение выражения $ \sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 36 + 0,82 \cdot 36 - 4} $.
Упростим выражение под корнем. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:
$ 1\frac{9}{16} = \frac{16 \cdot 1 + 9}{16} = \frac{25}{16} $.
Вынесем общий множитель 36 за скобки:
$ \sqrt{36 \cdot (1\frac{9}{16} + 0,82) - 4} = \sqrt{36 \cdot (\frac{25}{16} + 0,82) - 4} $.
Вычислим значение в скобках:
$ \frac{25}{16} + 0,82 = 1,5625 + 0,82 = 2,3825 $.
Подставим значение в выражение:
$ \sqrt{36 \cdot 2,3825 - 4} = \sqrt{85,77 - 4} = \sqrt{81,77} $.
Полученное число под корнем не является квадратом рационального числа. Вероятно, в условии допущена опечатка.
Ответ: $ \sqrt{81,77} $.

4) Вычислим значение выражения $ \sqrt{1,69 \cdot 1,21 - 1,69 \cdot 0,4 + 2,6} $.
Судя по длине черты радикала, слагаемое $2,6$ находится вне корня. Упростим выражение под корнем, вынеся общий множитель $1,69$ за скобки:
$ \sqrt{1,69 \cdot (1,21 - 0,4)} + 2,6 = \sqrt{1,69 \cdot 0,81} + 2,6 $.
Воспользуемся свойством корня из произведения:
$ \sqrt{1,69} \cdot \sqrt{0,81} + 2,6 = 1,3 \cdot 0,9 + 2,6 $.
Выполним умножение и сложение:
$ 1,17 + 2,6 = 3,77 $.
Ответ: $3,77$.

5) Вычислим значение выражения $ 3 + \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{369}} $.
В числителе дроби под корнем применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ 165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289 $.
Подставим результат в выражение:
$ 3 + \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{369}} $.
Заметим, что знаменатель $ 369 = 41 \cdot 9 $. Сократим дробь:
$ 3 + \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{41 \cdot 9}} = 3 + \sqrt{\frac{289}{9}} $.
Извлечем корень:
$ 3 + \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{17}{3} $.
Выполним сложение:
$ 3 + \frac{17}{3} = \frac{9}{3} + \frac{17}{3} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} $.
Ответ: $8\frac{2}{3}$.

6) Вычислим значение выражения $ 4 \cdot \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} $.
В знаменателе дроби под корнем применим формулу разности квадратов:
$ 176^2 - 112^2 = (176 - 112)(176 + 112) = 64 \cdot 288 $.
Подставим результат в выражение:
$ 4 \cdot \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} $.
Упростим дробь под корнем: $ 98 = 2 \cdot 49 $ и $ 288 = 2 \cdot 144 $.
$ \frac{98}{64 \cdot 288} = \frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144} = \frac{49}{64 \cdot 144} $.
Теперь извлечем корень:
$ 4 \cdot \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = 4 \cdot \frac{7}{8 \cdot 12} = 4 \cdot \frac{7}{96} $.
Выполним умножение и сократим дробь:
$ \frac{4 \cdot 7}{96} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $\frac{7}{24}$.

7) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} - 5,2 $.
Применим формулу разности квадратов для числителя и знаменателя дроби под корнем.
Числитель: $ 145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242 $.
Знаменатель: $ 193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225 $.
Дробь под корнем: $ \frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225} $.
Упростим дробь: $ 242 = 2 \cdot 121 $ и $ 162 = 2 \cdot 81 $.
$ \frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225} = \frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225} $.
Извлечем корень:
$ \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135} $.
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{77}{135} - 5,2 = \frac{77}{135} - \frac{52}{10} = \frac{77}{135} - \frac{26}{5} $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{77}{135} - \frac{26 \cdot 27}{5 \cdot 27} = \frac{77 - 702}{135} = -\frac{625}{135} $.
Сократим дробь на 5:
$ -\frac{625 \div 5}{135 \div 5} = -\frac{125}{27} $.
Ответ: $-\frac{125}{27}$.

19.31.
1) Решите неравенство $x^2 + 4x - 2 \le 0$ и найдите сумму целых его решений, принадлежащих отрезку $[-3; 1]$;
2) решите неравенство $x^2 - 6x + 4 \le 0$ и найдите сумму целых его решений, принадлежащих отрезку $[-1; 4]$.

1) Сначала решим квадратное неравенство $x^2 + 4x - 2 \le 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.

Таким образом, $x_1 = -2 - \sqrt{6}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{6}$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 4x - 2$ направлены вверх ($a=1>0$), решением неравенства является промежуток между корнями, включая сами корни: $[-2 - \sqrt{6}; -2 + \sqrt{6}]$.

Теперь оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то:

$x_1 = -2 - \sqrt{6} \approx -2 - 2.45 = -4.45$.

$x_2 = -2 + \sqrt{6} \approx -2 + 2.45 = 0.45$.

Решением неравенства является промежуток примерно $[-4.45; 0.45]$.

Нам нужно найти целые решения, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$. Это означает, что мы ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют двум условиям: $x \in [-2 - \sqrt{6}; -2 + \sqrt{6}]$ и $x \in [-3; 1]$.

Найдем пересечение этих двух множеств. Целые числа, удовлетворяющие первому условию: $-4, -3, -2, -1, 0$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$: $-3, -2, -1, 0, 1$.

Общими для этих двух наборов являются целые числа: $-3, -2, -1, 0$.

Найдем их сумму:

$(-3) + (-2) + (-1) + 0 = -6$.

Ответ: -6.

2) Решим неравенство $x^2 - 6x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 4$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому решением неравенства является промежуток $[3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}]$.

Оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то:

$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$.

$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$.

Решением неравенства является промежуток примерно $[0.76; 5.24]$.

Нам нужно найти целые решения, принадлежащие отрезку $[-1; 4]$. Ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in [3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}]$ и $x \in [-1; 4]$.

Целые числа, удовлетворяющие первому условию: $1, 2, 3, 4, 5$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[-1; 4]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Общими для этих двух наборов являются целые числа: $1, 2, 3, 4$.

Найдем их сумму:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10.

19.32. Найдите пересечение промежутков:

1) $(-2; 5)$ и $(-3; 2];$

2) $(-2; 6)$ и $(-3; 3];$

3) $[-2; 5)$ и $(-3; 6].$

1) Требуется найти пересечение промежутков $(-2; 5)$ и $(-3; 2]$. Первый промежуток, $(-2; 5)$, это все числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $-2 < x < 5$. Второй промежуток, $(-3; 2]$, это все числа $x$, для которых выполняется неравенство $-3 < x \le 2$. Пересечение — это множество чисел, принадлежащих обоим промежуткам. Для наглядности изобразим их на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $(-2; 5)$, а красной — промежуток $(-3; 2]$. Область пересечения, где штриховки накладываются, находится между точками -2 и 2. Определим, входят ли граничные точки в пересечение. Левая граница пересечения — это $max(-2, -3) = -2$. Так как точка -2 не принадлежит промежутку $(-2; 5)$ (обозначено выколотой точкой), она не входит в пересечение. Правая граница — это $min(5, 2) = 2$. Точка 2 принадлежит промежутку $(-2; 5)$ и принадлежит промежутку $(-3; 2]$ (обозначено закрашенной точкой), следовательно, она входит в пересечение.

Таким образом, итоговый промежуток — $(-2; 2]$.

Ответ: $(-2; 2]$.

2) Требуется найти пересечение промежутков $(-2; 6)$ и $(-3; 3]$. Первый промежуток, $(-2; 6)$, соответствует неравенству $-2 < x < 6$. Второй промежуток, $(-3; 3]$, соответствует неравенству $-3 < x \le 3$. Найдем общую часть этих промежутков, изобразив их на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $(-2; 6)$, а красной — промежуток $(-3; 3]$. Область их пересечения находится между точками -2 и 3. Левая граница пересечения: $max(-2, -3) = -2$. Так как -2 не входит в промежуток $(-2; 6)$, то оно не входит и в пересечение. Правая граница пересечения: $min(6, 3) = 3$. Так как 3 входит в промежуток $(-3; 3]$ (и также в промежуток $(-2; 6)$), то оно входит и в пересечение.

Следовательно, итоговый промежуток — $(-2; 3]$.

Ответ: $(-2; 3]$.

3) Требуется найти пересечение промежутков $[-2; 5)$ и $(-3; 6]$. Первый промежуток, $[-2; 5)$, соответствует неравенству $-2 \le x < 5$. Второй промежуток, $(-3; 6]$, соответствует неравенству $-3 < x \le 6$. Изобразим эти промежутки на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $[-2; 5)$, а красной — промежуток $(-3; 6]$. Общая часть этих двух промежутков находится между точками -2 и 5. Левая граница пересечения: $max(-2, -3) = -2$. Так как -2 принадлежит промежутку $[-2; 5)$ (обозначено закрашенной точкой), то оно входит и в пересечение. Правая граница пересечения: $min(5, 6) = 5$. Так как 5 не принадлежит промежутку $[-2; 5)$ (обозначено выколотой точкой), то оно не входит и в пересечение.

Таким образом, результатом пересечения является промежуток $[-2; 5)$.

Ответ: $[-2; 5)$.