Номер 19.30, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.30. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25 + 3};$

2) $\sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49 - 25 + 4};$

3) $\sqrt{1 - \frac{9}{16} \cdot 36 + 0,82 \cdot 36 - 4};$

4) $\sqrt{1,69 \cdot 1,21 - 1,69 \cdot 0,4 + 2,6};$

5) $3 + \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{369}};$

6) $4 \cdot \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}};$

7) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} - 5,2.$

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25} + 3 $.
Воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} $:
$ \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36 \cdot 0,25} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{0,25} = 14 \cdot 0,9 \cdot 0,6 \cdot 0,5 $.
Выполним умножение по частям:
$ 14 \cdot 0,9 = 12,6 $
$ 12,6 \cdot 0,6 = 7,56 $
$ 7,56 \cdot 0,5 = 3,78 $.
Теперь прибавим 3 к полученному результату:
$ 3,78 + 3 = 6,78 $.
Ответ: $6,78$.

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49 - 25} + 4 $.
Сначала упростим выражение под корнем. Вынесем общий множитель 49 за скобки:
$ \sqrt{49 \cdot (0,87 + 0,82) - 25} + 4 $.
Вычислим сумму в скобках:
$ 0,87 + 0,82 = 1,69 $.
Подставим значение в выражение:
$ \sqrt{49 \cdot 1,69 - 25} + 4 = \sqrt{82,81 - 25} + 4 = \sqrt{57,81} + 4 $.
Так как $ \sqrt{57,81} $ не является рациональным числом, а в подобных заданиях ответы обычно целочисленные или простые дроби, вероятно, в условии есть опечатка. Наиболее вероятная опечатка — число 49 вместо 100. Если это так, то решение будет следующим:
$ \sqrt{0,87 \cdot 100 + 0,82 \cdot 100 - 25} + 4 = \sqrt{100 \cdot (0,87 + 0,82) - 25} + 4 = \sqrt{100 \cdot 1,69 - 25} + 4 = \sqrt{169 - 25} + 4 = \sqrt{144} + 4 = 12 + 4 = 16 $.
Ответ: Принимая во внимание вероятную опечатку в условии, ответ равен 16. При решении строго по условию, ответ $ \sqrt{57,81} + 4 $.

3) Вычислим значение выражения $ \sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 36 + 0,82 \cdot 36 - 4} $.
Упростим выражение под корнем. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:
$ 1\frac{9}{16} = \frac{16 \cdot 1 + 9}{16} = \frac{25}{16} $.
Вынесем общий множитель 36 за скобки:
$ \sqrt{36 \cdot (1\frac{9}{16} + 0,82) - 4} = \sqrt{36 \cdot (\frac{25}{16} + 0,82) - 4} $.
Вычислим значение в скобках:
$ \frac{25}{16} + 0,82 = 1,5625 + 0,82 = 2,3825 $.
Подставим значение в выражение:
$ \sqrt{36 \cdot 2,3825 - 4} = \sqrt{85,77 - 4} = \sqrt{81,77} $.
Полученное число под корнем не является квадратом рационального числа. Вероятно, в условии допущена опечатка.
Ответ: $ \sqrt{81,77} $.

4) Вычислим значение выражения $ \sqrt{1,69 \cdot 1,21 - 1,69 \cdot 0,4 + 2,6} $.
Судя по длине черты радикала, слагаемое $2,6$ находится вне корня. Упростим выражение под корнем, вынеся общий множитель $1,69$ за скобки:
$ \sqrt{1,69 \cdot (1,21 - 0,4)} + 2,6 = \sqrt{1,69 \cdot 0,81} + 2,6 $.
Воспользуемся свойством корня из произведения:
$ \sqrt{1,69} \cdot \sqrt{0,81} + 2,6 = 1,3 \cdot 0,9 + 2,6 $.
Выполним умножение и сложение:
$ 1,17 + 2,6 = 3,77 $.
Ответ: $3,77$.

5) Вычислим значение выражения $ 3 + \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{369}} $.
В числителе дроби под корнем применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ 165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289 $.
Подставим результат в выражение:
$ 3 + \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{369}} $.
Заметим, что знаменатель $ 369 = 41 \cdot 9 $. Сократим дробь:
$ 3 + \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{41 \cdot 9}} = 3 + \sqrt{\frac{289}{9}} $.
Извлечем корень:
$ 3 + \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{17}{3} $.
Выполним сложение:
$ 3 + \frac{17}{3} = \frac{9}{3} + \frac{17}{3} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} $.
Ответ: $8\frac{2}{3}$.

6) Вычислим значение выражения $ 4 \cdot \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} $.
В знаменателе дроби под корнем применим формулу разности квадратов:
$ 176^2 - 112^2 = (176 - 112)(176 + 112) = 64 \cdot 288 $.
Подставим результат в выражение:
$ 4 \cdot \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} $.
Упростим дробь под корнем: $ 98 = 2 \cdot 49 $ и $ 288 = 2 \cdot 144 $.
$ \frac{98}{64 \cdot 288} = \frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144} = \frac{49}{64 \cdot 144} $.
Теперь извлечем корень:
$ 4 \cdot \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = 4 \cdot \frac{7}{8 \cdot 12} = 4 \cdot \frac{7}{96} $.
Выполним умножение и сократим дробь:
$ \frac{4 \cdot 7}{96} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $\frac{7}{24}$.

7) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} - 5,2 $.
Применим формулу разности квадратов для числителя и знаменателя дроби под корнем.
Числитель: $ 145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242 $.
Знаменатель: $ 193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225 $.
Дробь под корнем: $ \frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225} $.
Упростим дробь: $ 242 = 2 \cdot 121 $ и $ 162 = 2 \cdot 81 $.
$ \frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225} = \frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225} $.
Извлечем корень:
$ \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} = \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135} $.
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{77}{135} - 5,2 = \frac{77}{135} - \frac{52}{10} = \frac{77}{135} - \frac{26}{5} $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{77}{135} - \frac{26 \cdot 27}{5 \cdot 27} = \frac{77 - 702}{135} = -\frac{625}{135} $.
Сократим дробь на 5:
$ -\frac{625 \div 5}{135 \div 5} = -\frac{125}{27} $.
Ответ: $-\frac{125}{27}$.