Номер 20.4, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.4. 1) $\left\{ \begin{array}{l} 4x-4-x^2 > 0, \\ (3x-2)^2 > 3,61; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} 5+4x-x^2 > 0, \\ 3x^2+x-2 > 0; \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} 7x-4-3x^2 \le 0, \\ 2x^2+3x-5 > 0; \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} 3x^2-x > 0, \\ 2x^2-7x \le -5; \end{array} \right.$

5) $\left\{ \begin{array}{l} 14x-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > -8; \end{array} \right.$

6) $\left\{ \begin{array}{l} -7x-3x+4x^2 < 0, \\ 5x^2+7x > 0. \end{array} \right.$

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x - 4 - x^2 > 0 \\ (3x - 2)^2 > 3,61 \end{cases} $$

Рассмотрим первое неравенство: $4x - 4 - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(x - 2)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 2)^2 \geq 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x - 2)^2 < 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5 + 4x - x^2 > 0 \\ 3x^2 + x - 2 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $5 + 4x - x^2 > 0$.
Умножим на -1: $x^2 - 4x - 5 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.

Решим второе неравенство: $3x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x = \frac{-1 \pm 5}{6}$, то есть $x_1 = \frac{-6}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется вне корней: $x < -1$ или $x > \frac{2}{3}$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-1, 5)$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{2}{3}, +\infty)$.
Общим решением будет интервал $(\frac{2}{3}, 5)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; 5)$.

3) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 7x - 4 - 3x^2 \leq 0 \\ 2x^2 + 3x - 5 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $7x - 4 - 3x^2 \leq 0$.
Умножим на -1: $3x^2 - 7x + 4 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x = \frac{7 \pm 1}{6}$, то есть $x_1 = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется при $x \leq 1$ или $x \geq \frac{4}{3}$.

Решим второе неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 + 3 - 5 = 0$, поэтому один из корней $x_1 = 1$. Второй корень $x_2 = c/a = -5/2$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $x < -5/2$ или $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -5/2) \cup (1, +\infty)$.
Объединяя условия, получаем: $x < -5/2$ или $x \geq 4/3$.

Ответ: $(-\infty; -2,5) \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x^2 - x > 0 \\ 2x^2 - 7x \leq -5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $3x^2 - x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 1) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=1/3$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x < 0$ или $x > 1/3$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 7x \leq -5$.
Перенесем -5 влево: $2x^2 - 7x + 5 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 - 7 + 5 = 0$, поэтому один из корней $x_1 = 1$. Второй корень $x_2 = c/a = 5/2 = 2,5$.
Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y \leq 0$ выполняется между корнями, включая их: $1 \leq x \leq 2,5$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$ и $x \in [1, 2,5]$.
Интервал $[1, 2,5]$ полностью содержится в области $x > 1/3$.
Следовательно, общее решение - это $1 \leq x \leq 2,5$.

Ответ: $[1; 2,5]$.

5) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 14x - 3x - 2x^2 < 0 \\ 3x^2 + 5x > -8 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $14x - 3x - 2x^2 < 0$.
Упростим: $11x - 2x^2 < 0$.
Умножим на -1: $2x^2 - 11x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(2x - 11) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=11/2 = 5,5$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x < 0$ или $x > 5,5$.

Решим второе неравенство: $3x^2 + 5x > -8$.
Перенесем -8 влево: $3x^2 + 5x + 8 > 0$.
Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + 5x + 8 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 - 96 = -71$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен (3 > 0), а дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола $y = 3x^2 + 5x + 8$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $3x^2 + 5x + 8 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Решением системы является решение первого неравенства, так как второе верно для любого $x$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (5,5; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -7x - 3x + 4x^2 < 0 \\ 5x^2 + 7x > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-7x - 3x + 4x^2 < 0$.
Упростим: $4x^2 - 10x < 0$.
Вынесем $2x$ за скобки: $2x(2x - 5) < 0$.
Корни $x=0$ и $x=5/2 = 2,5$. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $0 < x < 2,5$.

Решим второе неравенство: $5x^2 + 7x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x + 7) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=-7/5 = -1,4$. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство $y > 0$ выполняется вне корней: $x < -1,4$ или $x > 0$.

Найдем пересечение решений: $x \in (0, 2,5)$ и $x \in (-\infty, -1,4) \cup (0, +\infty)$.
Общим решением будет интервал $(0, 2,5)$.

Ответ: $(0; 2,5)$.