Номер 20.6, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 1} + \sqrt{x^2 - 4};$

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 18};$

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{9-x^2};$

4) $y = \sqrt{5x^2 - 4x - 12} + \sqrt{25-x^2}.$

1) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 1} + \sqrt{x^2 - 4}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x^2 - 4x + 1 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 4x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y=3x^2-4x+1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 4x + 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Парабола $y=x^2-4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)) \cap ((-\infty; -2] \cup [2; +\infty))$.

Пересечением является множество $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 18}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 18 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-1)(x-3) \ge 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y=x^2-4x+3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 \ge 0$.

Разделим на 2: $x^2 - 9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty; 1] \cup [3; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [3; +\infty))$.

Пересечением является множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{9 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 5 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 5 \ge 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a=1>0$), то трехчлен $x^2 - 4x + 5$ положителен при любых значениях $x$. Решением неравенства является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 9$, что означает $|x| \le 3$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-3; 3]$.

Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; +\infty) \cap [-3; 3]$.

Пересечением является отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: $[-3; 3]$.

4) $y = \sqrt{5x^2 - 4x - 12} + \sqrt{25 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} 5x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ 25 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x^2 - 4x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1,2$, $x_2 = \frac{4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Ветви параболы $y=5x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1,2] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $25 - x^2 \ge 0$.

Это равносильно $x^2 \le 25$, или $|x| \le 5$.

Решением неравенства является отрезок $[-5; 5]$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty; -1,2] \cup [2; +\infty)) \cap [-5; 5]$.

Пересечение состоит из двух отрезков: $[-5; -1,2]$ и $[2; 5]$.

Ответ: $[-5; -1,2] \cup [2; 5]$.