Номер 20.7, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.7. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 \le 0, \\ |x| > 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ |x| \le 1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ |x| \ge 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 2. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 \le 0, \\ |x| > 4 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [-6, 1]$.
Теперь решим второе неравенство: $|x| > 4$.
Это неравенство равносильно совокупности $x < -4$ или $x > 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть множеств $[-6, 1]$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Для этого удобно изобразить решения на числовой оси:

Пересечением является интервал от -6 (включительно) до -4 (не включительно).
Ответ: $x \in [-6, -4)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ |x| \le 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 + x - 6 \le 0$ есть отрезок между корнями: $x \in [-3, 2]$.
Решим второе неравенство: $|x| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Решение: $x \in [-1, 1]$.
Найдем пересечение решений: $x \in [-3, 2] \cap [-1, 1]$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ |x| \ge 3 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 7 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = -\frac{14}{4} = -3.5$; $x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 7$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 5x - 7 > 0$ выполняется для $x$, находящихся вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $|x| \ge 3$.
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -3] \cup [3, +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty, -3.5)$ с $(-\infty, -3]$ дает $(-\infty, -3.5)$.
Пересечение интервала $(1, +\infty)$ с $[3, +\infty)$ дает $[3, +\infty)$.
Объединяя результаты, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-\infty, -3.5) \cup [3, +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 2 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 3} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 5x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.
Решим второе неравенство: $|x| \le 2$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Решение: $x \in [-2, 2]$.
Найдем пересечение решений: $x \in [-\frac{8}{3}, 1] \cap [-2, 2]$.
Так как $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, то $-\frac{8}{3} < -2$.

Пересечением этих двух отрезков является отрезок $[-2, 1]$.
Ответ: $x \in [-2, 1]$.