Номер 20.12, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.12. 1)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x+2} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 + 2} > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 - 4} > 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 - 4} < 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 16}{5-x} \ge 0, \\ \frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8} \le 2. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $ x+2 \ne 0 \implies x \ne -2 $.
При $ x \ne -2 $ можно сократить дробь: $ x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 $.
Учитывая ОДЗ, решение первого неравенства: $ x \in [2, \infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} - 1 > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{2x^2-7x+8 - (x^2+2)}{x^2+2} > 0 $.
$ \frac{x^2-7x+6}{x^2+2} > 0 $.
Знаменатель $ x^2+2 $ всегда положителен, так как $ x^2 \ge 0 $, следовательно $ x^2+2 \ge 2 $.
Значит, знак дроби зависит только от знака числителя: $ x^2-7x+6 > 0 $.
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2-7x+6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1, x_2=6 $.
Парабола $ y=x^2-7x+6 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней.
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ [2, \infty) \cap ((-\infty, 1) \cup (6, \infty)) $.
Пересечением является интервал $ (6, \infty) $.

Ответ: $ (6, \infty) $

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} > 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0 $.
$ \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-4)} \ge 0 $.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $ \frac{(x-3)(x+3)}{x-4} \le 0 $.
Методом интервалов находим нули числителя $ x=3, x=-3 $ (включительно) и нуль знаменателя $ x=4 $ (исключительно).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки на интервалах.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -3] \cup [3, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} > 2 $.
$ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} - 2 > 0 \implies \frac{2x^2-7x+8 - 2(x^2-4)}{x^2-4} > 0 $.
$ \frac{2x^2-7x+8 - 2x^2+8}{x^2-4} > 0 \implies \frac{-7x+16}{x^2-4} > 0 $.
$ \frac{16-7x}{(x-2)(x+2)} > 0 $.
Нули числителя $ x=16/7 $ и знаменателя $ x=\pm 2 $. Все точки выколотые.
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, 16/7) $. ($ 16/7 \approx 2.28 $)

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3] \cup [3, 4)) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, 16/7)) $.
Пересечение $ (-\infty, -3] $ с $ (-\infty, -2) $ дает $ (-\infty, -3] $.
Интервал $ [3, 4) $ не пересекается с $ (-\infty, -2) \cup (2, 16/7) $, так как $ 3 > 16/7 $.
Итоговое решение: $ x \in (-\infty, -3] $.

Ответ: $ (-\infty, -3] $

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} < 1 \end{cases} $

1. Первое неравенство $ \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0 $ совпадает с первым неравенством из задания 2).
Его решение: $ x \in (-\infty, -3] \cup [3, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} < 1 $.
$ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} - 1 < 0 \implies \frac{2x^2-7x+8 - (x^2-4)}{x^2-4} < 0 $.
$ \frac{x^2-7x+12}{x^2-4} < 0 \implies \frac{(x-3)(x-4)}{(x-2)(x+2)} < 0 $.
Нули числителя $ x=3, x=4 $ и знаменателя $ x=\pm 2 $. Все точки выколотые.
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-2, 2) \cup (3, 4) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3] \cup [3, 4)) \cap ((-2, 2) \cup (3, 4)) $.
Интервал $ (-\infty, -3] $ не пересекается с $ (-2, 2) \cup (3, 4) $.
Пересечение $ [3, 4) $ с $ (3, 4) $ дает $ (3, 4) $.
Итоговое решение: $ x \in (3, 4) $.

Ответ: $ (3, 4) $

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-16}{5-x} \ge 0, \\ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} \le 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-16}{5-x} \ge 0 $.
$ \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-5)} \ge 0 \implies \frac{(x-4)(x+4)}{x-5} \le 0 $.
Нули числителя $ x=4, x=-4 $ (включительно) и нуль знаменателя $ x=5 $ (исключительно).
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -4] \cup [4, 5) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} \le 2 $.
$ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} - 2 \le 0 \implies \frac{x^2-7x-8-2(x^2-8)}{x^2-8} \le 0 $.
$ \frac{x^2-7x-8-2x^2+16}{x^2-8} \le 0 \implies \frac{-x^2-7x+8}{x^2-8} \le 0 $.
Умножим на -1 и сменим знак: $ \frac{x^2+7x-8}{x^2-8} \ge 0 $.
$ \frac{(x+8)(x-1)}{(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})} \ge 0 $.
Нули числителя $ x=-8, x=1 $ (включительно) и знаменателя $ x=\pm 2\sqrt{2} $ (исключительно).
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -8] \cup (-2\sqrt{2}, 1] \cup (2\sqrt{2}, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -4] \cup [4, 5)) \cap ((-\infty, -8] \cup (-2\sqrt{2}, 1] \cup (2\sqrt{2}, \infty)) $.
Пересечение $ (-\infty, -4] $ с $ (-\infty, -8] $ дает $ (-\infty, -8] $.
Пересечение $ [4, 5) $ с $ (2\sqrt{2}, \infty) $ (учитывая, что $ 4 = \sqrt{16} > \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $) дает $ [4, 5) $.
Итоговое решение: $ x \in (-\infty, -8] \cup [4, 5) $.

Ответ: $ (-\infty, -8] \cup [4, 5) $