Номер 20.17, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.17. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases}(x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2 \\ 2x^2 - 7x - 9 \le 0;\end{cases}$

2) $\begin{cases}(3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2 \\ x^2 + 7x - 8 \le 0;\end{cases}$

3) $\begin{cases}(2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4 \\ 2x^2 - 7x - 5 \le 4;\end{cases}$

4) $\begin{cases}5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2 \\ 3x^2 - 5x + 8 > 0.\end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2, \\ 2x^2 - 7x - 9 \le 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(x+3)^2 + 4(x-2) \le (2x-1)^2$

$x^2 + 6x + 9 + 4x - 8 \le 4x^2 - 4x + 1$

$x^2 + 10x + 1 \le 4x^2 - 4x + 1$

$0 \le 3x^2 - 14x$

$x(3x - 14) \ge 0$

Корни уравнения $x(3x - 14) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 14/3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [14/3, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - 7x - 9 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{7 - 11}{4} = -1$

$x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-1, 9/2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, 0] \cup [14/3, +\infty)$ и $[-1, 9/2]$.

Учитывая, что $14/3 \approx 4.67$, а $9/2 = 4.5$, пересечением является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: $x \in [-1, 0]$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2, \\ x^2 + 7x - 8 \le 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(3x+4)^2 + 4(x-3) \le (2x-2)^2$

$9x^2 + 24x + 16 + 4x - 12 \le 4x^2 - 8x + 4$

$9x^2 + 28x + 4 \le 4x^2 - 8x + 4$

$5x^2 + 36x \le 0$

$x(5x + 36) \le 0$

Корни уравнения $x(5x + 36) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -36/5 = -7.2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-36/5, 0]$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 7x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.

$(x+8)(x-1) \le 0$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in [-8, 1]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[-36/5, 0]$ и $[-8, 1]$.

Пересечением является отрезок $[-36/5, 0]$.

Ответ: $x \in [-36/5, 0]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4, \\ 2x^2 - 7x - 5 \le 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$(2x-3)^2 - 2(x-2) \le (2x-3)^2 + 4$

Вычтем $(2x-3)^2$ из обеих частей:

$-2(x-2) \le 4$

$-2x + 4 \le 4$

$-2x \le 0$

$x \ge 0$

Решение: $x \in [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - 7x - 5 \le 4$

$2x^2 - 7x - 9 \le 0$

Это неравенство уже было решено в задаче 1). Его решение: $x \in [-1, 9/2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[0, +\infty)$ и $[-1, 9/2]$.

Пересечением является отрезок $[0, 9/2]$.

Ответ: $x \in [0, 9/2]$.

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2, \\ 3x^2 - 5x + 8 > 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5(x-3) - 4(x-2)^2 \le 3 - (2x-1)^2$

$5x - 15 - 4(x^2 - 4x + 4) \le 3 - (4x^2 - 4x + 1)$

$5x - 15 - 4x^2 + 16x - 16 \le 3 - 4x^2 + 4x - 1$

$-4x^2 + 21x - 31 \le -4x^2 + 4x + 2$

Прибавим $4x^2$ к обеим частям:

$21x - 31 \le 4x + 2$

$17x \le 33$

$x \le 33/17$

Решение: $x \in (-\infty, 33/17]$.

Решим второе неравенство:

$3x^2 - 5x + 8 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 8$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 - 96 = -71$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, парабола $y = 3x^2 - 5x + 8$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $3x^2 - 5x + 8 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty, 33/17]$ и $(-\infty, +\infty)$.

Пересечением является множество $(-\infty, 33/17]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 33/17]$.