Номер 20.18, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.18. Найдите область определения функции и укажите наибольшее целое значение переменной x:

1) $y = \frac{\sqrt{-2x^2 + 5x - 3}}{\sqrt{9-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x-1}}$;

2) $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 8x + 11}}{\sqrt{25-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+12}}$

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{-2x^2 + 5x - 3}}{\sqrt{9-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x-1}}$ необходимо, чтобы все выражения под корнем были определены и знаменатели не были равны нулю. Это приводит к следующей системе неравенств:

$\begin{cases} -2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \\ 9-x^2 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим неравенство $-2x^2 + 5x - 3 \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $2x^2 - 5x + 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$; $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$.

Парабола $y = 2x^2 - 5x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 5x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le x \le 1,5$.

2. Решим неравенство $9 - x^2 > 0$.

Перенесем $x^2$: $9 > x^2$, или $x^2 < 9$. Это неравенство выполняется для $x$, лежащих в интервале $(-3; 3)$.

3. Решим неравенство $2x - 1 > 0$.

Перенесем 1: $2x > 1$, откуда $x > 0,5$.

Теперь необходимо найти пересечение всех трех решений:

$\begin{cases} x \in [1; 1,5] \\ x \in (-3; 3) \\ x \in (0,5; +\infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен одновременно удовлетворять всем трем. Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 1,5]$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [1; 1,5]$.

Наибольшее целое значение переменной $x$, принадлежащее этой области, — это $1$.

Ответ: область определения $D(y) = [1; 1,5]$; наибольшее целое значение $x$ равно 1.

2) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 8x + 11}}{\sqrt{25-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+12}}$ составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} -3x^2 + 8x + 11 \ge 0 \\ 25-4x^2 > 0 \\ 2x+12 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим неравенство $-3x^2 + 8x + 11 \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $3x^2 - 8x - 11 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 11 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-11) = 64 + 132 = 196$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 14}{6} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{8 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 8x - 11$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 8x - 11 \le 0$ выполняется при $x \in [-1; \frac{11}{3}]$.

2. Решим неравенство $25 - 4x^2 > 0$.

$25 > 4x^2$, или $x^2 < \frac{25}{4}$. Решением является интервал $-\frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$, то есть $x \in (-2,5; 2,5)$.

3. Решим неравенство $2x + 12 > 0$.

$2x > -12$, откуда $x > -6$.

Найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \in [-1; \frac{11}{3}] \\ x \in (-2,5; 2,5) \\ x \in (-6; +\infty) \end{cases}$

Учитывая, что $\frac{11}{3} \approx 3,67$, пересечением этих трех множеств является промежуток $[-1; 2,5)$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1; 2,5)$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: область определения $D(y) = [-1; 2,5)$; наибольшее целое значение $x$ равно 2.