Номер 20.3, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.3. 1) $ \begin{cases} x^2 + 2x > 0, \\ (x - 2.3)^2 \leq 25; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} -2x^2 + 6x > 0, \\ (2x + 3)^2 \leq 16; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 4x - x^2 \leq 0, \\ (x - 2)^2 > 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 5x - x^2 < 0, \\ (3x - 2)^2 > 9; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 5x + x^2 \leq 0, \\ (x + 2)^2 > 4; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 7x - 3x^2 \leq 0, \\ (x - 2)^2 > 1.44; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 5.2x - 4x^2 \leq 0, \\ (3x - 2)^2 \leq 2.25; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} 1.4x + x^2 \leq 0, \\ (2x + 3)^2 > 0.25. \end{cases} $

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + 2x > 0 \\(x-2.3)^2 \le 25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x+2) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2.3)^2 \le 25$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{(x-2.3)^2} \le \sqrt{25}$, что равносильно $|x-2.3| \le 5$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: $-5 \le x-2.3 \le 5$.
Прибавим $2.3$ ко всем частям неравенства: $-5 + 2.3 \le x \le 5 + 2.3$.
Получаем: $-2.7 \le x \le 7.3$.
Решение второго неравенства: $x \in [-2.7; 7.3]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $[-2.7; 7.3]$.
Пересечением является объединение интервалов $[-2.7; -2)$ и $(0; 7.3]$.

Ответ: $x \in [-2.7; -2) \cup (0; 7.3]$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}-2x^2 + 6x > 0 \\(2x+3)^2 \le 16\end{cases}$

Решим первое неравенство: $-2x^2 + 6x > 0$.
Разделим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства: $x^2 - 3x < 0$.
Разложим на множители: $x(x-3) < 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (0; 3)$.

Решим второе неравенство: $(2x+3)^2 \le 16$.
Извлечем квадратный корень: $|2x+3| \le 4$.
Перейдем к двойному неравенству: $-4 \le 2x+3 \le 4$.
Вычтем $3$ из всех частей: $-7 \le 2x \le 1$.
Разделим на $2$: $-3.5 \le x \le 0.5$.
Решение второго неравенства: $x \in [-3.5; 0.5]$.

Найдем пересечение решений: $(0; 3)$ и $[-3.5; 0.5]$.
Пересечением является интервал $(0; 0.5]$.

Ответ: $x \in (0; 0.5]$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}4x - x^2 \le 0 \\(x-2)^2 > 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $4x - x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - 4x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x-4) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Парабола с ветвями вверх, значения неотрицательны вне корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^2 > 1$.
Извлечем корень: $|x-2| > 1$.
Это неравенство распадается на два: $x-2 > 1$ или $x-2 < -1$.
Из первого получаем $x > 3$. Из второго $x < 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [4; +\infty)) \cap ((-\infty; 1) \cup (3; +\infty))$.
Пересечение дает $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5x - x^2 < 0 \\(3x-2)^2 > 9\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x - x^2 < 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - 5x > 0$.
Разложим на множители: $x(x-5) > 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(3x-2)^2 > 9$.
Извлечем корень: $|3x-2| > 3$.
Распадается на два неравенства: $3x-2 > 3$ или $3x-2 < -3$.
$3x > 5 \implies x > 5/3$.
$3x < -1 \implies x < -1/3$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5/3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0) \cup (5; +\infty)) \cap ((-\infty; -1/3) \cup (5/3; +\infty))$.
Пересечение дает $(-\infty; -1/3) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5; +\infty)$.

5)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5x + x^2 \le 0 \\(x+2)^2 > 4\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x + x^2 \le 0$.
Разложим на множители: $x(x+5) \le 0$.
Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.
Парабола с ветвями вверх, значения неположительны между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-5; 0]$.

Решим второе неравенство: $(x+2)^2 > 4$.
Извлечем корень: $|x+2| > 2$.
Распадается на два неравенства: $x+2 > 2$ или $x+2 < -2$.
$x > 0$ или $x < -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-5; 0] \cap ((-\infty; -4) \cup (0; +\infty))$.
Пересечением является интервал $[-5; -4)$. Точка $x=0$ не входит в решение, так как второе неравенство строгое.

Ответ: $x \in [-5; -4)$.

6)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}7x - 3x^2 \le 0 \\(x-2)^2 > 1.44\end{cases}$

Решим первое неравенство: $7x - 3x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $3x^2 - 7x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(3x-7) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7/3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [7/3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^2 > 1.44$.
Извлечем корень: $|x-2| > \sqrt{1.44}$, то есть $|x-2| > 1.2$.
Распадается на два неравенства: $x-2 > 1.2$ или $x-2 < -1.2$.
$x > 3.2$ или $x < 0.8$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0.8) \cup (3.2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [7/3; +\infty)) \cap ((-\infty; 0.8) \cup (3.2; +\infty))$.
Учитывая, что $7/3 \approx 2.33$, пересечение дает $(-\infty; 0] \cup (3.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (3.2; +\infty)$.

7)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}5.2x - 4x^2 \le 0 \\(3x-2)^2 \le 2.25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5.2x - 4x^2 \le 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $4x^2 - 5.2x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(4x - 5.2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $4x_2 - 5.2 = 0 \implies x_2 = 5.2/4 = 1.3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [1.3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(3x-2)^2 \le 2.25$.
Извлечем корень: $|3x-2| \le \sqrt{2.25}$, то есть $|3x-2| \le 1.5$.
Перейдем к двойному неравенству: $-1.5 \le 3x-2 \le 1.5$.
Прибавим $2$: $0.5 \le 3x \le 3.5$.
Разделим на $3$: $0.5/3 \le x \le 3.5/3$, что равно $1/6 \le x \le 7/6$.
Решение второго неравенства: $x \in [1/6; 7/6]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 0] \cup [1.3; +\infty)) \cap [1/6; 7/6]$.
Поскольку $1/6 \approx 0.167$ и $7/6 \approx 1.167$, интервал $[1/6; 7/6]$ не пересекается ни с $(-\infty; 0]$, ни с $[1.3; +\infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

8)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}1.4x + x^2 \le 0 \\(2x+3)^2 > 0.25\end{cases}$

Решим первое неравенство: $1.4x + x^2 \le 0$.
Разложим на множители: $x(1.4 + x) \le 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1.4$.
Решение первого неравенства: $x \in [-1.4; 0]$.

Решим второе неравенство: $(2x+3)^2 > 0.25$.
Извлечем корень: $|2x+3| > \sqrt{0.25}$, то есть $|2x+3| > 0.5$.
Распадается на два неравенства: $2x+3 > 0.5$ или $2x+3 < -0.5$.
$2x > -2.5 \implies x > -1.25$.
$2x < -3.5 \implies x < -1.75$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -1.75) \cup (-1.25; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1.4; 0] \cap ((-\infty; -1.75) \cup (-1.25; +\infty))$.
Пересечением является интервал $(-1.25; 0]$.

Ответ: $x \in (-1.25; 0]$.