Номер 19.32, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.32. Найдите пересечение промежутков:

1) $(-2; 5)$ и $(-3; 2];$

2) $(-2; 6)$ и $(-3; 3];$

3) $[-2; 5)$ и $(-3; 6].$

1) Требуется найти пересечение промежутков $(-2; 5)$ и $(-3; 2]$. Первый промежуток, $(-2; 5)$, это все числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $-2 < x < 5$. Второй промежуток, $(-3; 2]$, это все числа $x$, для которых выполняется неравенство $-3 < x \le 2$. Пересечение — это множество чисел, принадлежащих обоим промежуткам. Для наглядности изобразим их на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $(-2; 5)$, а красной — промежуток $(-3; 2]$. Область пересечения, где штриховки накладываются, находится между точками -2 и 2. Определим, входят ли граничные точки в пересечение. Левая граница пересечения — это $max(-2, -3) = -2$. Так как точка -2 не принадлежит промежутку $(-2; 5)$ (обозначено выколотой точкой), она не входит в пересечение. Правая граница — это $min(5, 2) = 2$. Точка 2 принадлежит промежутку $(-2; 5)$ и принадлежит промежутку $(-3; 2]$ (обозначено закрашенной точкой), следовательно, она входит в пересечение.

Таким образом, итоговый промежуток — $(-2; 2]$.

Ответ: $(-2; 2]$.

2) Требуется найти пересечение промежутков $(-2; 6)$ и $(-3; 3]$. Первый промежуток, $(-2; 6)$, соответствует неравенству $-2 < x < 6$. Второй промежуток, $(-3; 3]$, соответствует неравенству $-3 < x \le 3$. Найдем общую часть этих промежутков, изобразив их на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $(-2; 6)$, а красной — промежуток $(-3; 3]$. Область их пересечения находится между точками -2 и 3. Левая граница пересечения: $max(-2, -3) = -2$. Так как -2 не входит в промежуток $(-2; 6)$, то оно не входит и в пересечение. Правая граница пересечения: $min(6, 3) = 3$. Так как 3 входит в промежуток $(-3; 3]$ (и также в промежуток $(-2; 6)$), то оно входит и в пересечение.

Следовательно, итоговый промежуток — $(-2; 3]$.

Ответ: $(-2; 3]$.

3) Требуется найти пересечение промежутков $[-2; 5)$ и $(-3; 6]$. Первый промежуток, $[-2; 5)$, соответствует неравенству $-2 \le x < 5$. Второй промежуток, $(-3; 6]$, соответствует неравенству $-3 < x \le 6$. Изобразим эти промежутки на числовой оси.

На рисунке синей штриховкой показан промежуток $[-2; 5)$, а красной — промежуток $(-3; 6]$. Общая часть этих двух промежутков находится между точками -2 и 5. Левая граница пересечения: $max(-2, -3) = -2$. Так как -2 принадлежит промежутку $[-2; 5)$ (обозначено закрашенной точкой), то оно входит и в пересечение. Правая граница пересечения: $min(5, 6) = 5$. Так как 5 не принадлежит промежутку $[-2; 5)$ (обозначено выколотой точкой), то оно не входит и в пересечение.

Таким образом, результатом пересечения является промежуток $[-2; 5)$.

Ответ: $[-2; 5)$.