Страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.19. Найдите все целые значения переменной $a$, при которых верно неравенство:

1) $f(a) \ge f(a + 2)$, где $f(a) = a - \frac{1}{a - 1}$;

2) $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$, где $f(a) = \frac{8}{a^2 - 1} - 1$.

1)

Дано неравенство $f(a) \ge f(a + 2)$, где $f(a) = a - \frac{1}{a - 1}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$a - 1 \ne 0 \implies a \ne 1$

$(a + 2) - 1 \ne 0 \implies a + 1 \ne 0 \implies a \ne -1$

Таким образом, $a$ не может быть равно $1$ или $-1$. Поскольку мы ищем целые значения $a$, то $a \in \mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\}$.

Подставим выражение для функции в неравенство:

$a - \frac{1}{a - 1} \ge (a + 2) - \frac{1}{(a + 2) - 1}$

$a - \frac{1}{a - 1} \ge a + 2 - \frac{1}{a + 1}$

Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:

$-\frac{1}{a - 1} \ge 2 - \frac{1}{a + 1}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1} - 2 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$:

$\frac{(a - 1) - (a + 1) - 2(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} \ge 0$

$\frac{a - 1 - a - 1 - 2(a^2 - 1)}{a^2 - 1} \ge 0$

$\frac{-2 - 2a^2 + 2}{a^2 - 1} \ge 0$

$\frac{-2a^2}{a^2 - 1} \ge 0$

Разделим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства:

$\frac{a^2}{a^2 - 1} \le 0$

Числитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$).

Равенство нулю достигается при $a^2 = 0$, то есть $a = 0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($0 \ne -1$ и $0 \ne 1$), значит $a = 0$ является решением.

Строгое неравенство $\frac{a^2}{a^2 - 1} < 0$ выполняется, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку $a^2 > 0$ при $a \ne 0$, нам необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным:

$a^2 - 1 < 0$

$a^2 < 1$

$-1 < a < 1$

Объединяя решение $a = 0$ и решение неравенства $-1 < a < 1$, получаем, что решение неравенства — это интервал $(-1, 1)$.

Мы ищем целые значения $a$. Единственное целое число, которое удовлетворяет условию $-1 < a < 1$, это $a = 0$.

Ответ: 0

2)

Дано неравенство $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$, где $f(a) = \frac{8}{a^2 - 1} - 1$.

Найдем ОДЗ для $a$. Знаменатели не должны быть равны нулю:

Для $f(a)$: $a^2 - 1 \ne 0 \implies (a - 1)(a + 1) \ne 0 \implies a \ne 1$ и $a \ne -1$.

Для $f(a + 2)$: $(a + 2)^2 - 1 \ne 0 \implies ((a + 2) - 1)((a + 2) + 1) \ne 0 \implies (a + 1)(a + 3) \ne 0 \implies a \ne -1$ и $a \ne -3$.

Таким образом, ОДЗ для целых $a$: $a \in \mathbb{Z} \setminus \{-3, -1, 1\}$.

Преобразуем функцию $f(a)$:

$f(a) = \frac{8 - (a^2 - 1)}{a^2 - 1} = \frac{8 - a^2 + 1}{a^2 - 1} = \frac{9 - a^2}{a^2 - 1}$

Неравенство $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$ означает, что $f(a)$ и $f(a + 2)$ имеют разные знаки.

Проанализируем знак функции $f(x) = \frac{9 - x^2}{x^2 - 1} = \frac{-(x - 3)(x + 3)}{(x - 1)(x + 1)}$.

Точки, в которых функция может менять знак (нули числителя и знаменателя): $x = -3, x = -1, x = 1, x = 3$.

Разобьем числовую ось на интервалы и определим знак $f(x)$ в каждом из них:

• При $x \in (-\infty, -3)$, $f(x) < 0$.
• При $x \in (-3, -1)$, $f(x) > 0$.
• При $x \in (-1, 1)$, $f(x) < 0$.
• При $x \in (1, 3)$, $f(x) > 0$.
• При $x \in (3, \infty)$, $f(x) < 0$.

Для того чтобы $f(a)$ и $f(a+2)$ имели разные знаки, необходимо, чтобы точки $a$ и $a+2$ находились в соседних интервалах с разными знаками. Это означает, что отрезок $[a, a+2]$ должен содержать одну из точек смены знака: $-3, -1, 1, 3$.

Так как $a$ — целое число, рассмотрим каждый случай:

1. Точка смены знака $x = -3$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $-3$. Это возможно, если $a \le -3 \le a+2$, что дает $a \ge -5$ и $a \le -3$. Целые $a$ в этом диапазоне: $-5, -4, -3$.
- $a = -5$: $f(-5) \cdot f(-3) = f(-5) \cdot 0 = 0$. Не подходит. - $a = -4$: $f(-4) < 0$ и $f(-2) > 0$. Произведение $f(-4) \cdot f(-2) < 0$. Подходит. - $a = -3$: не входит в ОДЗ.

2. Точка смены знака $x = -1$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $-1$. Это возможно, если $a \le -1 \le a+2$, что дает $a \ge -3$ и $a \le -1$. Целые $a$: $-3, -2, -1$.
- $a = -3$: не входит в ОДЗ. - $a = -2$: $f(-2) > 0$ и $f(0) < 0$. Произведение $f(-2) \cdot f(0) < 0$. Подходит. - $a = -1$: не входит в ОДЗ.

3. Точка смены знака $x = 1$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $1$. Это возможно, если $a \le 1 \le a+2$, что дает $a \ge -1$ и $a \le 1$. Целые $a$: $-1, 0, 1$.
- $a = -1$: не входит в ОДЗ. - $a = 0$: $f(0) < 0$ и $f(2) > 0$. Произведение $f(0) \cdot f(2) < 0$. Подходит. - $a = 1$: не входит в ОДЗ.

4. Точка смены знака $x = 3$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $3$. Это возможно, если $a \le 3 \le a+2$, что дает $a \ge 1$ и $a \le 3$. Целые $a$: $1, 2, 3$.
- $a = 1$: не входит в ОДЗ. - $a = 2$: $f(2) > 0$ и $f(4) < 0$. Произведение $f(2) \cdot f(4) < 0$. Подходит. - $a = 3$: $f(3) = 0$, поэтому $f(3) \cdot f(5) = 0$. Не подходит.

Собираем все найденные целые значения $a$: $-4, -2, 0, 2$. Все они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -4, -2, 0, 2

19.20. Найдите все такие значения $x$, при которых значение хотя бы одной из функций:

1) $f(x) = x^2 + 5x + 3$; $g(x) = \frac{x+8}{2-x}$ больше 3;

2) $f(x) = 3x^2 - x + 2$; $g(x) = \frac{5-x}{x+2}$ меньше 2:

1)

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых выполняется хотя бы одно из двух неравенств: $f(x) > 3$ или $g(x) > 3$. Это эквивалентно нахождению объединения решений этих двух неравенств.

Сначала решим неравенство $f(x) > 3$:

$x^2 + 5x + 3 > 3$

$x^2 + 5x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x + 5) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$. Поскольку график функции $y = x^2 + 5x$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

Теперь решим неравенство $g(x) > 3$:

$\frac{x + 8}{2 - x} > 3$

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 8}{2 - x} - 3 > 0$

$\frac{x + 8 - 3(2 - x)}{2 - x} > 0$

$\frac{x + 8 - 6 + 3x}{2 - x} > 0$

$\frac{4x + 2}{2 - x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1/2$

$2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$

Нанесем точки $-1/2$ и $2$ на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. Дробь $\frac{4x + 2}{2 - x}$ положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, что происходит на интервале $(-1/2, 2)$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-1/2, 2)$.

Теперь найдем объединение множеств решений: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$ и $(-1/2, 2)$.

Объединяя эти два множества, получаем $x \in (-\infty, -5) \cup (-1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-1/2, \infty)$.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых выполняется хотя бы одно из двух неравенств: $f(x) < 2$ или $g(x) < 2$. Это эквивалентно нахождению объединения решений этих двух неравенств.

Сначала решим неравенство $f(x) < 2$:

$3x^2 - x + 2 < 2$

$3x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 1) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(3x - 1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/3$. Поскольку график функции $y = 3x^2 - x$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (0, 1/3)$.

Теперь решим неравенство $g(x) < 2$:

$\frac{5 - x}{x + 2} < 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5 - x}{x + 2} - 2 < 0$

$\frac{5 - x - 2(x + 2)}{x + 2} < 0$

$\frac{5 - x - 2x - 4}{x + 2} < 0$

$\frac{1 - 3x}{x + 2} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$1 - 3x = 0 \Rightarrow x = 1/3$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Нанесем точки $-2$ и $1/3$ на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. Дробь $\frac{1 - 3x}{x + 2}$ отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, что происходит на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1/3, +\infty)$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (1/3, +\infty)$.

Теперь найдем объединение множеств решений: $(0, 1/3)$ и $(-\infty, -2) \cup (1/3, +\infty)$.

Объединяя эти два множества, получаем: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 1/3) \cup (1/3, \infty)$.

19.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 3x - 2) \cdot (x^2 - 3x + 1) < 10;$

2) $(x^2 - 2x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 1) < 3;$

3) $(x^2 + x) \cdot (x^2 + x - 2) < 24;$

4) $(x^2 + 3x + 2) \cdot (x^2 + 3x + 4) < 48.$

1) Исходное неравенство: $(x^2 - 3x - 2) \cdot (x^2 - 3x + 1) < 10$.

Данное неравенство решается методом введения новой переменной. Заметим, что в обоих множителях присутствует выражение $x^2 - 3x$.

Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t - 2)(t + 1) < 10$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

$t^2 + t - 2t - 2 < 10$

$t^2 - t - 2 < 10$

$t^2 - t - 12 < 0$

Мы получили квадратное неравенство относительно переменной $t$. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - t - 12$ направлены вверх, неравенство $t^2 - t - 12 < 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся между корнями.

$-3 < t < 4$

Теперь выполним обратную замену. Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x > -3 \\ x^2 - 3x < 4 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство: $x^2 - 3x + 3 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 3$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), данный трехчлен принимает положительные значения при любых действительных $x$. Таким образом, решение этого неравенства — $x \in (-\infty; +\infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 3x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < 4$.

Решением системы является пересечение решений двух неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-1; 4)$, что дает интервал $(-1; 4)$.

Ответ: $(-1; 4)$.

2) Исходное неравенство: $(x^2 - 2x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 1) < 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t + 3)(t + 1) < 3$

Раскроем скобки и решим полученное неравенство:

$t^2 + t + 3t + 3 < 3$

$t^2 + 4t < 0$

$t(t + 4) < 0$

Корни уравнения $t(t + 4) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -4$. Ветви параболы $y = t^2 + 4t$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$-4 < t < 0$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 - 2x > -4 \\ x^2 - 2x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x + 4 > 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство справедливо для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 2x < 0$.

$x(x - 2) < 0$. Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 2$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (0; 2)$ дает интервал $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$.

3) Исходное неравенство: $(x^2 + x) \cdot (x^2 + x - 2) < 24$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Неравенство примет вид:

$t(t - 2) < 24$

$t^2 - 2t - 24 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства:

$-4 < t < 6$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 + x > -4 \\ x^2 + x < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + x + 4 > 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 2$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (-3; 2)$ дает интервал $(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$.

4) Исходное неравенство: $(x^2 + 3x + 2) \cdot (x^2 + 3x + 4) < 48$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x$. Неравенство примет вид:

$(t + 2)(t + 4) < 48$

$t^2 + 4t + 2t + 8 < 48$

$t^2 + 6t + 8 - 48 < 0$

$t^2 + 6t - 40 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 40 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$ и $t_2 = -10$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства:

$-10 < t < 4$

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} x^2 + 3x > -10 \\ x^2 + 3x < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x + 10 > 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 4 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Неравенство выполняется между корнями: $-4 < x < 1$.

Пересечение решений $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in (-4; 1)$ дает интервал $(-4; 1)$.

Ответ: $(-4; 1)$.

19.22. Найдите наибольшее значение параметра p, при котором для любого x верно неравенство:

1) $2x^2 - 4x - 2 \ge p;$

2) $2x^2 - 2x - 0,5 \ge p;$

3) $x^2 - 10x - 5 \ge p;$

4) $3x^2 - 6x - 3 \ge p.$

1) Чтобы неравенство $2x^2 - 4x - 2 \ge p$ было верным для любого $x$, параметр $p$ должен быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 2$.

Функция $f(x)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$. Следовательно, функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=2$, $b=-4$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Наименьшее значение функции равно значению функции в точке $x_v$:

$f_{min} = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4$.

Таким образом, неравенство будет выполняться для всех $x$, если $p \le f_{min}$, то есть $p \le -4$. Наибольшее значение параметра $p$, удовлетворяющее этому условию, равно $-4$.

Ответ: $-4$.

2) Рассмотрим неравенство $2x^2 - 2x - 0,5 \ge p$. Оно будет выполняться для любого $x$, если параметр $p$ не превышает наименьшего значения функции $f(x) = 2x^2 - 2x - 0,5$.

График функции $f(x)$ — парабола с ветвями вверх ($a=2>0$), поэтому она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Теперь найдем наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(0,5) = 2(0,5)^2 - 2(0,5) - 0,5 = 2 \cdot 0,25 - 1 - 0,5 = 0,5 - 1 - 0,5 = -1$.

Условие $f(x) \ge p$ для всех $x$ эквивалентно условию $f_{min} \ge p$, то есть $-1 \ge p$. Наибольшее значение $p$, при котором это условие выполняется, равно $-1$.

Ответ: $-1$.

3) Для того чтобы неравенство $x^2 - 10x - 5 \ge p$ было верным для любого $x$, $p$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x) = x^2 - 10x - 5$.

Данная функция представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=1>0$), которая достигает своего минимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.

Наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(5) = 5^2 - 10(5) - 5 = 25 - 50 - 5 = -30$.

Следовательно, для выполнения исходного неравенства для всех $x$ должно быть верно $p \le -30$. Наибольшим таким значением $p$ является $-30$.

Ответ: $-30$.

4) Рассмотрим неравенство $3x^2 - 6x - 3 \ge p$. Оно будет истинным для любого $x$, если $p$ не будет превышать наименьшего значения функции $f(x) = 3x^2 - 6x - 3$.

График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3>0$). Наименьшее значение достигается в вершине.

Вычислим абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Вычислим наименьшее значение функции:

$f_{min} = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 3 = 3 - 6 - 3 = -6$.

Таким образом, для выполнения неравенства при любом $x$ необходимо, чтобы $p \le -6$. Наибольшее значение параметра $p$, которое удовлетворяет этому условию, равно $-6$.

Ответ: $-6$.

19.23. Решите неравенство, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $\frac{3x+7}{x^2-1} \cdot |x-1| \cdot (x-3)^2 \le 0;$

2) $\frac{5x-8}{x^2-16} \cdot |x-4| \cdot (x-5)^2 \ge 0;$

3) $\frac{3x-9}{4-x^2} \cdot |x-2| \cdot (x-4)^2 < 0;$

4) $\frac{3x+7}{25-x^2} \cdot |x-5| \cdot (x-6)^2 < 0.$

1) Решим неравенство $\frac{3x+7}{x^2-1} \cdot |x-1| \cdot (x-3)^2 \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2-1 \ne 0$, что означает $(x-1)(x+1) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Множители $|x-1|$ и $(x-3)^2$ всегда неотрицательны, то есть $|x-1| \ge 0$ и $(x-3)^2 \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда левая часть равна нулю или когда она строго меньше нуля.

Случай 1: Левая часть равна нулю.

Произведение равно нулю, если один из множителей в числителе равен нулю, при условии, что выражение определено (то есть $x$ входит в ОДЗ).

$3x+7=0 \implies x = -7/3$. Это значение входит в ОДЗ.

$|x-1|=0 \implies x=1$. Это значение не входит в ОДЗ.

$(x-3)^2=0 \implies x=3$. Это значение входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = -7/3$ и $x=3$ являются решениями неравенства.

Случай 2: Левая часть строго меньше нуля.

Поскольку $|x-1| \ge 0$ и $(x-3)^2 \ge 0$, для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $\frac{3x+7}{x^2-1}$ был отрицательным, а множители $|x-1|$ и $(x-3)^2$ были строго положительными.

$|x-1| > 0 \implies x \ne 1$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-3)^2 > 0 \implies x \ne 3$.

Решаем неравенство $\frac{3x+7}{x^2-1} < 0$.

$\frac{3x+7}{(x-1)(x+1)} < 0$.

Применим метод интервалов. Корни числителя: $x = -7/3$. Корни знаменателя: $x = -1, x = 1$.

Нанесем точки на числовую ось: $-7/3, -1, 1$. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -7/3)$, $(-7/3, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{3x+7}{(x-1)(x+1)}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$: знак $(+)$.
• При $-1 < x < 1$: знак $(-)$. Этот интервал является решением.
• При $-7/3 < x < -1$: знак $(+)$.
• При $x < -7/3$: знак $(-)$. Этот интервал является решением.

Решение неравенства $\frac{3x+7}{x^2-1} < 0$ есть объединение интервалов $(-\infty, -7/3) \cup (-1, 1)$.

Учитывая условие $x \ne 3$, которое уже выполняется для этих интервалов, получаем решения для строгого неравенства.

Объединение решений.

Объединяем решения из обоих случаев: $x \in \{ -7/3, 3 \}$ и $x \in (-\infty, -7/3) \cup (-1, 1)$.

Включаем точку $x = -7/3$ в интервал, получаем $(-\infty, -7/3]$. Точка $x=3$ является изолированным решением.

Ответ: $(-\infty, -7/3] \cup (-1, 1) \cup \{3\}$.

2) Решим неравенство $\frac{5x-8}{x^2-16} \cdot |x-4| \cdot (x-5)^2 \ge 0$.

ОДЗ: $x^2-16 \ne 0 \implies (x-4)(x+4) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 4$ и $x \ne -4$.

Множители $|x-4|$ и $(x-5)^2$ всегда неотрицательны.

Случай 1: Левая часть равна нулю.

$5x-8=0 \implies x = 8/5 = 1.6$. Входит в ОДЗ.

$|x-4|=0 \implies x=4$. Не входит в ОДЗ.

$(x-5)^2=0 \implies x=5$. Входит в ОДЗ.

Решения: $x=8/5$ и $x=5$.

Случай 2: Левая часть строго больше нуля.

Для этого необходимо, чтобы $\frac{5x-8}{x^2-16} > 0$, а также $|x-4| > 0$ (то есть $x \ne 4$) и $(x-5)^2 > 0$ (то есть $x \ne 5$).

Решаем неравенство $\frac{5x-8}{(x-4)(x+4)} > 0$.

Метод интервалов. Корни числителя: $x=8/5$. Корни знаменателя: $x=-4, x=4$.

Точки на числовой оси: $-4, 8/5, 4$.

Определим знаки выражения $\frac{5x-8}{(x-4)(x+4)}$ в интервалах:

• При $x > 4$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $8/5 < x < 4$: знак $(-)$.
• При $-4 < x < 8/5$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -4$: знак $(-)$.

Решение строгого неравенства: $x \in (-4, 8/5) \cup (4, \infty)$. Условия $x \ne 4$ и $x \ne 5$ здесь учтены (точка $5$ входит в интервал $(4, \infty)$).

Объединение решений.

Объединяем решения из обоих случаев: $x \in \{8/5, 5\}$ и $x \in (-4, 8/5) \cup (4, \infty)$.

Включаем точку $x=8/5$ в интервал, получаем $(-4, 8/5]$. Точка $x=5$ уже содержится в интервале $(4, \infty)$.

Ответ: $(-4, 8/5] \cup (4, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{3x-9}{4-x^2} \cdot |x-2| \cdot (x-4)^2 < 0$.

ОДЗ: $4-x^2 \ne 0 \implies (2-x)(2+x) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Неравенство строгое, поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это значит, что все множители должны быть отличны от нуля:

$3x-9 \ne 0 \implies x \ne 3$.

$|x-2| \ne 0 \implies x \ne 2$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-4)^2 \ne 0 \implies x \ne 4$.

Поскольку $|x-2| > 0$ и $(x-4)^2 > 0$ при указанных ограничениях, знак всего выражения определяется знаком дроби $\frac{3x-9}{4-x^2}$.

Решаем неравенство $\frac{3x-9}{4-x^2} < 0$.

$\frac{3(x-3)}{(2-x)(2+x)} < 0 \implies \frac{3(x-3)}{-(x-2)(x+2)} < 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{3(x-3)}{(x-2)(x+2)} > 0$.

Метод интервалов. Корни: $x=3, x=2, x=-2$.

Точки на числовой оси: $-2, 2, 3$.

Определим знаки выражения $\frac{3(x-3)}{(x-2)(x+2)}$ в интервалах:

• При $x > 3$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $2 < x < 3$: знак $(-)$.
• При $-2 < x < 2$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -2$: знак $(-)$.

Решение: $x \in (-2, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь нужно учесть дополнительное ограничение $x \ne 4$. Точка $x=4$ находится в интервале $(3, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.

Окончательное решение получается разбиением интервала $(3, \infty)$ на два: $(3, 4)$ и $(4, \infty)$.

Ответ: $(-2, 2) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x+7}{25-x^2} \cdot |x-5| \cdot (x-6)^2 < 0$.

ОДЗ: $25-x^2 \ne 0 \implies (5-x)(5+x) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Неравенство строгое, значит левая часть не равна нулю. Исключаем значения $x$, при которых множители обращаются в ноль:

$3x+7 \ne 0 \implies x \ne -7/3$.

$|x-5| \ne 0 \implies x \ne 5$ (уже учтено в ОДЗ).

$(x-6)^2 \ne 0 \implies x \ne 6$.

При этих условиях множители $|x-5|$ и $(x-6)^2$ строго положительны. Знак выражения совпадает со знаком дроби $\frac{3x+7}{25-x^2}$.

Решаем неравенство $\frac{3x+7}{25-x^2} < 0$.

$\frac{3x+7}{(5-x)(5+x)} < 0 \implies \frac{3x+7}{-(x-5)(x+5)} < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{3x+7}{(x-5)(x+5)} > 0$.

Метод интервалов. Корни: $x=-7/3, x=5, x=-5$.

Точки на числовой оси: $-5, -7/3, 5$.

Определим знаки выражения $\frac{3x+7}{(x-5)(x+5)}$ в интервалах:

• При $x > 5$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $-7/3 < x < 5$: знак $(-)$.
• При $-5 < x < -7/3$: знак $(+)$. Этот интервал является решением.
• При $x < -5$: знак $(-)$.

Решение: $x \in (-5, -7/3) \cup (5, \infty)$.

Теперь учтем ограничение $x \ne 6$. Точка $x=6$ лежит в интервале $(5, \infty)$, поэтому исключаем ее.

Разбиваем интервал $(5, \infty)$ на $(5, 6) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $(-5, -7/3) \cup (5, 6) \cup (6, \infty)$.

19.24. Найдите все x, для которых выполняется неравенство:

1) max ($\frac{1}{x}$; $5x - 1$) $\ge x$;

2) min ($\frac{1}{x}$; $2x^2 - 3$) $\le x$;

3) max ($|x|$; $x^2 - 8x$) $\ge 9$;

4) min ($|x|$; $x^2 + 7x$) $\ge 8$;

5) max ($|x|$; $x^2 - 6x$) $\le 7$;

6) min ($|x|$; $x^2 + 5x$) $\ge 6$.

1)

Неравенство $\max(\frac{1}{x}; 5x-1) \ge x$ эквивалентно совокупности двух неравенств (при условии $x \neq 0$):
$\frac{1}{x} \ge x$ или $5x-1 \ge x$.

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} \ge x$
$\frac{1}{x} - x \ge 0$
$\frac{1-x^2}{x} \ge 0$
$\frac{(1-x)(1+x)}{x} \ge 0$
Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 1]$.

Решим второе неравенство:
$5x-1 \ge x$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
Это неравенство выполняется при $x \in [\frac{1}{4}, \infty)$.

Объединим множества решений: $(-\infty, -1] \cup (0, 1] \cup [\frac{1}{4}, \infty)$.
Поскольку $[\frac{1}{4}, \infty)$ включает в себя часть интервала $(0, 1]$, их объединение дает $(0, \infty)$.
Итоговое решение — это объединение $(-\infty, -1]$ и $(0, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$.

2)

Неравенство $\min(\frac{1}{x}; 2x^2-3) \le x$ эквивалентно совокупности двух неравенств (при условии $x \neq 0$):
$\frac{1}{x} \le x$ или $2x^2-3 \le x$.

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} \le x$
$\frac{1}{x} - x \le 0$
$\frac{1-x^2}{x} \le 0$
$\frac{(1-x)(1+x)}{x} \le 0$
Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2-3 \le x$
$2x^2 - x - 3 \le 0$
Найдем корни уравнения $2x^2-x-3=0$. Дискриминант $D = 1 - 4(2)(-3) = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1+5}{4} = \frac{3}{2}$.
Парабола $y=2x^2-x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, \frac{3}{2}]$.

Объединим множества решений: $([-1, 0) \cup [1, \infty)) \cup [-1, \frac{3}{2}]$.
Это объединение дает $[-1, \infty)$.
Так как исходное выражение не определено при $x=0$, мы должны исключить эту точку из решения.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, \infty)$.

3)

Неравенство $\max(|x|; x^2-8x) \ge 9$ эквивалентно совокупности двух неравенств:
$|x| \ge 9$ или $x^2-8x \ge 9$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 9$.
Это равносильно $x \le -9$ или $x \ge 9$.
Решение: $x \in (-\infty, -9] \cup [9, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2-8x \ge 9$
$x^2-8x-9 \ge 0$
Корни уравнения $x^2-8x-9=0$ по теореме Виета равны $x_1=-1, x_2=9$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.

Объединим множества решений: $((-\infty, -9] \cup [9, \infty)) \cup ((-\infty, -1] \cup [9, \infty))$.
Результатом объединения является $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [9, \infty)$.

4)

Неравенство $\min(|x|; x^2+7x) \ge 8$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \ge 8$ и $x^2+7x \ge 8$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 8$.
Это равносильно $x \le -8$ или $x \ge 8$.
Решение: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2+7x \ge 8$
$x^2+7x-8 \ge 0$
Корни уравнения $x^2+7x-8=0$ по теореме Виета равны $x_1=1, x_2=-8$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -8] \cup [8, \infty)) \cap ((-\infty, -8] \cup [1, \infty))$.
Результатом пересечения является $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty)$.

5)

Неравенство $\max(|x|; x^2-6x) \le 7$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \le 7$ и $x^2-6x \le 7$.

Решим первое неравенство: $|x| \le 7$.
Это равносильно $-7 \le x \le 7$.
Решение: $x \in [-7, 7]$.

Решим второе неравенство:
$x^2-6x \le 7$
$x^2-6x-7 \le 0$
Корни уравнения $x^2-6x-7=0$ по теореме Виета равны $x_1=-1, x_2=7$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in [-1, 7]$.

Найдем пересечение множеств решений: $[-7, 7] \cap [-1, 7]$.
Результатом пересечения является $x \in [-1, 7]$.
Ответ: $x \in [-1, 7]$.

6)

Неравенство $\min(|x|; x^2+5x) \ge 6$ эквивалентно системе двух неравенств:
$|x| \ge 6$ и $x^2+5x \ge 6$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 6$.
Это равносильно $x \le -6$ или $x \ge 6$.
Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2+5x \ge 6$
$x^2+5x-6 \ge 0$
Корни уравнения $x^2+5x-6=0$ по теореме Виета равны $x_1=1, x_2=-6$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -6] \cup [6, \infty)) \cap ((-\infty, -6] \cup [1, \infty))$.
Результатом пересечения является $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.