Номер 19.19, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.19. Найдите все целые значения переменной $a$, при которых верно неравенство:

1) $f(a) \ge f(a + 2)$, где $f(a) = a - \frac{1}{a - 1}$;

2) $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$, где $f(a) = \frac{8}{a^2 - 1} - 1$.

1)

Дано неравенство $f(a) \ge f(a + 2)$, где $f(a) = a - \frac{1}{a - 1}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$a - 1 \ne 0 \implies a \ne 1$

$(a + 2) - 1 \ne 0 \implies a + 1 \ne 0 \implies a \ne -1$

Таким образом, $a$ не может быть равно $1$ или $-1$. Поскольку мы ищем целые значения $a$, то $a \in \mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\}$.

Подставим выражение для функции в неравенство:

$a - \frac{1}{a - 1} \ge (a + 2) - \frac{1}{(a + 2) - 1}$

$a - \frac{1}{a - 1} \ge a + 2 - \frac{1}{a + 1}$

Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:

$-\frac{1}{a - 1} \ge 2 - \frac{1}{a + 1}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1} - 2 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$:

$\frac{(a - 1) - (a + 1) - 2(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} \ge 0$

$\frac{a - 1 - a - 1 - 2(a^2 - 1)}{a^2 - 1} \ge 0$

$\frac{-2 - 2a^2 + 2}{a^2 - 1} \ge 0$

$\frac{-2a^2}{a^2 - 1} \ge 0$

Разделим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства:

$\frac{a^2}{a^2 - 1} \le 0$

Числитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$).

Равенство нулю достигается при $a^2 = 0$, то есть $a = 0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($0 \ne -1$ и $0 \ne 1$), значит $a = 0$ является решением.

Строгое неравенство $\frac{a^2}{a^2 - 1} < 0$ выполняется, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку $a^2 > 0$ при $a \ne 0$, нам необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным:

$a^2 - 1 < 0$

$a^2 < 1$

$-1 < a < 1$

Объединяя решение $a = 0$ и решение неравенства $-1 < a < 1$, получаем, что решение неравенства — это интервал $(-1, 1)$.

Мы ищем целые значения $a$. Единственное целое число, которое удовлетворяет условию $-1 < a < 1$, это $a = 0$.

Ответ: 0

2)

Дано неравенство $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$, где $f(a) = \frac{8}{a^2 - 1} - 1$.

Найдем ОДЗ для $a$. Знаменатели не должны быть равны нулю:

Для $f(a)$: $a^2 - 1 \ne 0 \implies (a - 1)(a + 1) \ne 0 \implies a \ne 1$ и $a \ne -1$.

Для $f(a + 2)$: $(a + 2)^2 - 1 \ne 0 \implies ((a + 2) - 1)((a + 2) + 1) \ne 0 \implies (a + 1)(a + 3) \ne 0 \implies a \ne -1$ и $a \ne -3$.

Таким образом, ОДЗ для целых $a$: $a \in \mathbb{Z} \setminus \{-3, -1, 1\}$.

Преобразуем функцию $f(a)$:

$f(a) = \frac{8 - (a^2 - 1)}{a^2 - 1} = \frac{8 - a^2 + 1}{a^2 - 1} = \frac{9 - a^2}{a^2 - 1}$

Неравенство $f(a) \cdot f(a + 2) < 0$ означает, что $f(a)$ и $f(a + 2)$ имеют разные знаки.

Проанализируем знак функции $f(x) = \frac{9 - x^2}{x^2 - 1} = \frac{-(x - 3)(x + 3)}{(x - 1)(x + 1)}$.

Точки, в которых функция может менять знак (нули числителя и знаменателя): $x = -3, x = -1, x = 1, x = 3$.

Разобьем числовую ось на интервалы и определим знак $f(x)$ в каждом из них:

• При $x \in (-\infty, -3)$, $f(x) < 0$.
• При $x \in (-3, -1)$, $f(x) > 0$.
• При $x \in (-1, 1)$, $f(x) < 0$.
• При $x \in (1, 3)$, $f(x) > 0$.
• При $x \in (3, \infty)$, $f(x) < 0$.

Для того чтобы $f(a)$ и $f(a+2)$ имели разные знаки, необходимо, чтобы точки $a$ и $a+2$ находились в соседних интервалах с разными знаками. Это означает, что отрезок $[a, a+2]$ должен содержать одну из точек смены знака: $-3, -1, 1, 3$.

Так как $a$ — целое число, рассмотрим каждый случай:

1. Точка смены знака $x = -3$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $-3$. Это возможно, если $a \le -3 \le a+2$, что дает $a \ge -5$ и $a \le -3$. Целые $a$ в этом диапазоне: $-5, -4, -3$.
- $a = -5$: $f(-5) \cdot f(-3) = f(-5) \cdot 0 = 0$. Не подходит. - $a = -4$: $f(-4) < 0$ и $f(-2) > 0$. Произведение $f(-4) \cdot f(-2) < 0$. Подходит. - $a = -3$: не входит в ОДЗ.

2. Точка смены знака $x = -1$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $-1$. Это возможно, если $a \le -1 \le a+2$, что дает $a \ge -3$ и $a \le -1$. Целые $a$: $-3, -2, -1$.
- $a = -3$: не входит в ОДЗ. - $a = -2$: $f(-2) > 0$ и $f(0) < 0$. Произведение $f(-2) \cdot f(0) < 0$. Подходит. - $a = -1$: не входит в ОДЗ.

3. Точка смены знака $x = 1$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $1$. Это возможно, если $a \le 1 \le a+2$, что дает $a \ge -1$ и $a \le 1$. Целые $a$: $-1, 0, 1$.
- $a = -1$: не входит в ОДЗ. - $a = 0$: $f(0) < 0$ и $f(2) > 0$. Произведение $f(0) \cdot f(2) < 0$. Подходит. - $a = 1$: не входит в ОДЗ.

4. Точка смены знака $x = 3$. Интервал $[a, a+2]$ должен содержать $3$. Это возможно, если $a \le 3 \le a+2$, что дает $a \ge 1$ и $a \le 3$. Целые $a$: $1, 2, 3$.
- $a = 1$: не входит в ОДЗ. - $a = 2$: $f(2) > 0$ и $f(4) < 0$. Произведение $f(2) \cdot f(4) < 0$. Подходит. - $a = 3$: $f(3) = 0$, поэтому $f(3) \cdot f(5) = 0$. Не подходит.

Собираем все найденные целые значения $a$: $-4, -2, 0, 2$. Все они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -4, -2, 0, 2