Номер 19.16, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.16. При каких значениях переменной $x$ принимает неотрицательные значения функция $y$:

1) $y = \frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8}$;

2) $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8}$;

3) $y = \frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10}$?

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых функция $y$ принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $y \ge 0$ для каждого случая.

1) $y = \frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$ сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 3t - 10 = 0$. Его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 2$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $x^2 = 2$, откуда $x = \pm\sqrt{2}$. Числитель можно разложить на множители: $(x^2 - 2)(x^2 + 5)$.

Для знаменателя $x^2 - 2x - 8 = 0$ найдем корни. По теореме Виета, это $x = 4$ и $x = -2$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 4)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 2)(x^2 + 5)}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$.

Поскольку выражение $x^2 + 5$ всегда положительно, мы можем упростить неравенство до: $\frac{x^2 - 2}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$, что равносильно $\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой оси точки $x = -2, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}, x = 4$. Точки $x = -2$ и $x = 4$ (корни знаменателя) будут выколотыми, а точки $x = \pm\sqrt{2}$ (корни числителя) — закрашенными.

Определив знаки выражения на каждом интервале, получим, что выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (4, +\infty)$.

2) $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$ сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем $t^2 - 3t - 10 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет $t = 5$. Следовательно, $x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$. Числитель раскладывается на множители: $(x^2 - 5)(x^2 + 2)$.

Для знаменателя $x^2 + 2x - 8 = 0$ корнями являются $x = 2$ и $x = -4$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 2)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 5)(x^2 + 2)}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$.

Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно, поэтому неравенство можно свести к: $\frac{x^2 - 5}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$, или $\frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$.

С помощью метода интервалов, отметив на оси точки $x = -4, x = -\sqrt{5}, x = 2, x = \sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$), находим решение. Точки $x = -4, x = 2$ выколоты.

Выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -4) \cup [-\sqrt{5}, 2) \cup [\sqrt{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [-\sqrt{5}, 2) \cup [\sqrt{5}, +\infty)$.

3) $y = \frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$. Подходит $t = 2$. Значит, $x^2 = 2$ и $x = \pm\sqrt{2}$. Числитель раскладывается на множители: $(x^2 - 2)(x^2 + 4)$.

Для знаменателя $x^2 - 3x - 10 = 0$ корнями являются $x = 5$ и $x = -2$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 5)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 2)(x^2 + 4)}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$.

Так как $x^2 + 4$ всегда положительно, получаем эквивалентное неравенство: $\frac{x^2 - 2}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$, или $\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$.

Используя метод интервалов с точками $x = -2, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}, x = 5$ (где точки $x=-2, x=5$ выколоты), находим решение.

Выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (5, +\infty)$.