Номер 19.11, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.11. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) \ge 0;$

2) $(x + 4)(x + 1)(x - 3) \le 0;$

3) $(2x + 5)(x - 2)(x - 6) \ge 0;$

4) $(x + 5)(x - 1)(x - 7) < 0;$

5) $(x + 6)(x - 1)(x - 3.6) > 0;$

6) $(2x + 1)(x - 1)(x - 2) \le 0;$

7) $(x - 4)^2 (x - 3)(x + 2) \ge 0;$

8) $(x + 6)(x + 1)^4 (x - 3) \ge 0;$

9) $(2x + 5)(x - 2)(x - 6)^4 \ge 0;$

10) $(x + 5)^3 (x - 3)^2 (x - 12) \le 0;$

11) $(x + 6)^3 (x + 1)^4 (x - 3) < 0;$

12) $(2x + 5)(x - 2)^4 (x - 6)^3 < 0.$

1)

Решим неравенство $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) \ge 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) = 0$.
Корни: $2x - 4 = 0 \implies x_1 = 2$; $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$; $x - 8 = 0 \implies x_3 = 8$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.
Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; 2]$, $[2; 6]$, $[6; 8]$, $[8; +\infty)$.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").
Ответ: $x \in [2; 6] \cup [8; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $(x + 4)(x + 1)(x - 3) \le 0$.
Корни уравнения $(x + 4)(x + 1)(x - 3) = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$.
Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (со знаком "-").
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; 3]$.

3)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)(x - 6) \ge 0$.
Корни: $2x + 5 = 0 \implies x_1 = -2.5$; $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$; $x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$.
Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in [-2.5; 2] \cup [6; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x + 5)(x - 1)(x - 7) < 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.
Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на числовой прямой будут выколотыми.

Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; 7)$.

5)

Решим неравенство $(x + 6)(x - 1)(x - 3.6) > 0$.
Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3.6$.
Неравенство строгое ($>$), точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-6; 1) \cup (3.6; +\infty)$.

6)

Решим неравенство $(2x + 1)(x - 1)(x - 2) \le 0$.
Корни: $2x + 1 = 0 \implies x_1 = -0.5$; $x_2 = 1$; $x_3 = 2$.
Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [1; 2]$.

7)

Решим неравенство $(x - 4)^2(x - 3)(x + 2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 4$ (кратность 2, четная), $x_2 = 3$ (кратность 1), $x_3 = -2$ (кратность 1).
При переходе через корень четной кратности ($x=4$) знак выражения не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+", а также сами корни. Точка $x=4$ является решением, так как в ней выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

8)

Решим неравенство $(x + 6)(x + 1)^4(x - 3) \ge 0$.
Корни: $x_1 = -6$ (кратность 1), $x_2 = -1$ (кратность 4, четная), $x_3 = 3$ (кратность 1).
При переходе через $x=-1$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+". Также, точка $x=-1$ является решением, так как в ней выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup \{-1\} \cup [3; +\infty)$.

9)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)(x - 6)^4 \ge 0$.
Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 6$ (кратность 4, четная).
При переходе через $x=6$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+", а также сами корни. Точка $x=6$ является решением.
Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [2; +\infty)$.

10)

Решим неравенство $(x + 5)^3(x - 3)^2(x - 12) \le 0$.
Корни: $x_1 = -5$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = 3$ (кратность 2, четная), $x_3 = 12$ (кратность 1).
При переходе через $x=3$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\le$).

Выбираем интервалы со знаком "-", а также сами корни. Объединяя интервалы $(-5; 3)$ и $(3; 12)$ и точки $x=-5, x=3, x=12$, получаем один сплошной отрезок.
Ответ: $x \in [-5; 12]$.

11)

Решим неравенство $(x + 6)^3(x + 1)^4(x - 3) < 0$.
Корни: $x_1 = -6$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = -1$ (кратность 4, четная), $x_3 = 3$ (кратность 1).
Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. При переходе через $x=-1$ знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "-". Точка $x=-1$ не входит в решение, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (-1; 3)$.

12)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)^4(x - 6)^3 < 0$.
Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 2$ (кратность 4, четная), $x_3 = 6$ (кратность 3, нечетная).
Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. При переходе через $x=2$ знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "-". Точка $x=2$ не входит в решение.
Ответ: $x \in (-2.5; 2) \cup (2; 6)$.